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Kombinat. mit "Nebenbedingung": Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:43 Mo 06.04.2015
Autor: ccccc

Aufgabe
Es werden k Kombinationen von m aus n verschiedenen Elementen gebildet. Über alle Kombinationen sollen alle Elemente-Paare gleicht oft (> 0) vorkommen. Mit welcher Konstruktion ist k minimal? (Näheres siehe unten)

Hallo zusammen,

beim letzten Doppelkopf-Abend kam eine Frage auf, für die ich gerade keine Antwort sehe. Vielleicht hat hier ja jemand Spaß daran und eine Idee :)

Ich habe oben mal versucht, das ins Allgemeine zu verpacken. Prinzipiell ist die Frage: Eine DoKo-Runde wird zu viert gespielt. Bei mehr Spieler setzen abwechselnd ein, zwei, .. Spieler aus. Fair wäre es natürlich, wenn am Ende alle Spieler jeweils gleich oft mit jedem anderen Spieler gespielt haben. Bspw. bei 7 oder 8 Spielern sind die möglichen Kombinationen mit 35 bzw. 70 schon recht zahlreich, zumal wenn jeweils vier Spiele gespielt werden (Aufspiel).

Bei 8 Spielern schafft man zwei Kombinationen gleichzeitig, aber das soll erst einmal egal sein. Auch die Sitzordnung der Spieler innerhalb einer Kombination wäre wohl eher Level 2.

Die Frage ist aber nun: Wie konstruiert man einen Spielplan, der das mit möglichst wenigen Spielen erfüllt? Gibt es überhaupt einen Plan mit weniger als "n über k" Spieler-Kombinationen?

Schon mal Danke für Antworten ;)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Kombinat. mit "Nebenbedingung": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Di 07.04.2015
Autor: M.Rex

Hallo.

Ich bin mir gerade nicht sicher, ob es so einfach ist, aber reicht es nicht, das kgV aus 4 und der Anzahl der Spieler zu bestimmen? Vielfache dieses kgV sind dann die möglichen Spiele, die man machen kann.

Marius

Bezug
                
Bezug
Kombinat. mit "Nebenbedingung": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Mi 08.04.2015
Autor: ccccc

Mmmh, ich glaube so einfach ist es nicht:

Ich gehe davon aus, dass "jeder gleich oft gegen jeden" bedeutet, dass auch jeder gleiche viele Spiele macht. Dann:

Bei 6 Spielern ist das kgV mit 4 12. Bei 12 Spielen gibt es 4*12=48 Plätze, bei 6 Spielern und gleicher Anzahl an Spielen somit 48/6=8 Spiele pro Spieler.
In jedem Spiel hat ein beliebiger Spieler 3 Gegner, insgesamt also 3*8=24 Gegner. Jeder der 5 Gegner soll gleich oft vorkommen, nämlich 24/5 mal, was keine natürliche Zahl ist.

Wenn ich mich da nicht verrenne sollte man mit der Überlegung aber zumindest zwei notwendige Bedingungen bauen können. Jeweils mit k Spielen und n Spielern:
- a) Anzahl der Spiele pro Spieler = [mm] \bruch{4k}{n} [/mm] muss [mm] \in \IN [/mm] sein
- b) Anzahl der Spiele gegen einen bestimmten Gegner = [mm] \bruch{4k}{n} [/mm] * [mm] \bruch{3}{n-1} [/mm] soll ebenfalls [mm] \in \IN [/mm] sein



Bezug
        
Bezug
Kombinat. mit "Nebenbedingung": Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 07.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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