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Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Di 13.05.2014
Autor: Richie1401

Aufgabe
Sei [mm] l\in\IN. [/mm] Dann stelle man sich folgende Situation vor: Zwei gleichstarke Mannschaften X und Y bestritten nacheinander 2l+1 Spiele, von denen jedes jeweils mit einem Sieg für eine der Mannschaften endete.

a) Sei [mm] A_l [/mm] das Ereignis "Die Mannschaft X lag niemals im Rückstand". Zeige: [mm] P(A_l)=\frac{1}{2^{2l+1}}\vektor{2l+1\\l+1} [/mm]

b) Sei [mm] B_l [/mm] das Ereignis "Die Mannschaft X lag ständig in Führung". Zeige [mm] P(B_l)=\frac{1}{2^{2l+1}}\vektor{2l\\l} [/mm]

c) Sei [mm] C_l [/mm] das Ereignis, "Die Mannschaft X lag niemals im Rückstand, aber nicht ständig in Führung". Zeige [mm] P(C_l)=P(A_l)=\frac{1}{2^{2l+1}}\vektor{2l\\l+1} [/mm]

Guten Morgen Profis,

ich habe Probleme mit den derzeitigen Übungsaufgaben der W-Theorie. Es kommt jetzt also ein ordentlicher Schwung an Fragen. Ich hoffe mir kann jemand auch helfen :-)

Dass die Gesamtanzahl der möglichen Spielausgänge [mm] 2^{2l+1} [/mm] ist, ist mir bewusst. Nur habe ich Probleme die günstigen Ausgänge zu bestimmen.

Für a)
Ich habe mir überlegt:

i) Angenommen X gewinnt jedes Spiel. Dann haben wir also die Situation
   "ggggggg...ggggg"
wenn g immer den Sieg für X bezeichnet. Wir haben also nur  [mm] \vektor{2l+1\\0}=1 [/mm] Möglichkeit der Anordnung.

ii) Angenommen X gewinnt nur 2l Spiele. Dann sind die Anordnungsmöglichkeiten zunächst [mm] \vektor{2l+1\\1}, [/mm] aber wir müssen den Fall
   "vggggg...gggg"
noch abziehen.

iii) Angenommen X gewinnt 2l-1 Spiele. Dann sind die Anordnungsmöglichkeiten sind dann [mm] \vektor{2l+1\\2}, [/mm] aber wir müssen
die Fälle
   "vvgggg...ggg"
   "vgvggg...ggg"
   "vggvgg...ggg"
   ...
   "vggggg...ggv"
   "gvvggg...ggg"
abziehen.


iv) Angenommen X gewinnt ...

So, und nun hänge ich. Das Prinzip ist mir klar. Aber ich komme nicht auf die Anzahl der Möglichkeiten, die ich noch abziehen muss.

Kann mir da jemand helfen?


Es geht mir also erst einmal nur um die a). Aufgabe b) verläuft ja dann ähnlich. Über die c) müsste man sich dann noch einmal austauschen.


Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Di 13.05.2014
Autor: Sax

Hi,

betrachte Wege im Quadratgitter.

x-Achse : Mannschaft X gewinnt, y-Achse : Mannschaft Y gewinnt.
Wir betrachten Minimal-Wege von (0,0) nach (m,n), d.h. solche, die nur in positiver Koordinatenrichtung fortschreiten. Ihre Anzahl beträgt [mm] \vektor{m+n \\ m}. [/mm] X liegt nicht im Rückstand, wenn der Weg nie oberhalb der Winkelhalbierenden verläuft.
Die Anzahl der Minimalwege von (0,0) nach (m,n), die die Winkelhalbierende überschneiden, ist [mm] \bruch{n}{m+1}*\vektor{m+n \\ n} [/mm] (etwas trickreich zu beweisen). Somit wird die Anzahl der Minimalwege von (0,0) nach (m,n), die die Winkelhalbierende nicht kreuzen [mm] \vektor{m+n \\ n}*(1-\bruch{n}{m+1}) [/mm] .

Hier betrachten wir nun solche Wege der Länge 2l+1 = m+n, die mit einem Sieg von X enden, also in einem der Punkte (2l+1,0), (2l,1), (2l-1,2), ..., (l+1,l) enden.
Die Anzahl aller Wege, bei denen X nicht im Rückstand liegt, ist also gegeben durch die Summe  [mm] \summe_{n=0}^{l}( \vektor{2l+1 \\ n}*(1-\bruch{n}{2l+2-n}) [/mm] ).  Es bleibt zu zeigen, dass diese Summe den Wert  [mm] \vektor{2l+1 \\ l+1} [/mm]  hat.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Mi 14.05.2014
Autor: Richie1401

Hallo Sax,

dieses Prinzip des Gitters kenne ich, das hatten wir schon einmal so ähnlich.

Vielen Dank für deine Hilfe!

Bezug
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