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Kombinatorik: Korrektur,Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Mi 05.11.2014
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
In einer Urne mit N=6 Kugeln seien r=2 rote und N-r=4 weiße Kugeln. Es werden n=5 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau k=3 rote Kugeln gezogen werden.
b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, k rote Kugeln zu ziehen, durch die Binomialverteilung gegeben ist und bestimmen Sie die entsprechenden Parameter.

Guten Abend,

zu a) Ω [mm] =[R_{1},R_{2},W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}]^{5} \mathcal{A}= [/mm] 2 ^{Ω}  [mm] \mathcal{P}={n \choose k}*p^{k}*(1-p)^{n-k} [/mm]
[mm] \mathcal{P}={5 \choose 3}*(1/3)^{3}*(2/3)^{5-3}\approx [/mm] 0.1646

zu b) Da weiß ich nicht genau, wie ich dass zeigen soll. Ein kleiner Denkanstoß wäre nett.

beste Grüße zahlenfreund


        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Do 06.11.2014
Autor: Ladon

Hallo zahlenfreund,

a) ist richtig. Zu b) musst du folgendes zeigen:
Sei [mm] n\in \IN [/mm] die Anzahl an Zügen, [mm] p=\frac{1}{3} [/mm] die Wkt. für einen Treffer, dann ist das Paar [mm] (\Omega,p) [/mm] mit [mm] \Omega=\{0,...,n\} [/mm] und [mm] p(k)=B_{n,p}(k)=\vektor{n\\k}p^k(1-p)^{n-k} [/mm] ein endliches Zufallsexperiment und die [mm] B_{n,p} [/mm] geänderte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt "Binomialverteilung mit Parameter n und p". Nun gilt z.zg., dass diese Binomialverteilung mit Parameter n und [mm] p=\frac{1}{3} [/mm]  die Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln zu ziehen, beschreibt. Ein Großteil der Überlegung war dir bereits in a) klar. Du musst dir dazu zuerst überlegen, warum es tatsächlich [mm] \vektor{n\\k} [/mm] Möglichkeiten gibt k Kugeln in n Schritten mit Zurücklegen zu ziehen (Auf wie viele Arten kannst du k rote und n-k weiße Kugeln in n-Tupel unterbringen? Warum ist das eine Kombination ohne Wiederholung?) und wie der Parameter p in die Beschreibung der Wahrscheinlichkeit k rote Kugeln zu ziehen eingeht.

MfG
Ladon

Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:42 Fr 07.11.2014
Autor: tobit09

Hallo zahlenfreund!


> In einer Urne mit N=6 Kugeln seien r=2 rote und N-r=4
> weiße Kugeln. Es werden n=5 Kugeln mit Zurücklegen
> gezogen.
>  a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau k=3
> rote Kugeln gezogen werden.
>  b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, k rote Kugeln
> zu ziehen, durch die Binomialverteilung gegeben ist und
> bestimmen Sie die entsprechenden Parameter.


> zu a) Ω [mm]=[R_{1},R_{2},W_{1},W_{2},W_{3},W_{4}]^{5} \mathcal{A}=[/mm]
> 2 ^{Ω}

Bis hierhin eine sinnvolle Modellierung des Zufallsexperimentes aus der Aufgabenstellung. [ok]

Fehlt nur noch ein passendes Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$. [/mm]


> [mm]\mathcal{P}={n \choose k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}[/mm]

Das definiert leider kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$. [/mm]

[mm] $\mathcal{P}$ [/mm] muss insbesondere eine Abbildung [mm] $\mathcal{P}\colon\mathcal{A}\to[0,1]$ [/mm] sein, also jedem Ereignis [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] (d.h. [mm] $A\subseteq\Omega$) [/mm] eine Zahl $P(A)$ von 0 bis 1 zuordnen.

Sinnvollerweise wählt man bei deiner Wahl von [mm] $(\Omega,\mathcal{A})$ [/mm] die Laplace-Verteilung über [mm] $\Omega$: [/mm]

     [mm] $P(A):=\frac{|A|}{|\Omega|}$ [/mm]     für alle [mm] $A\subseteq\Omega$. [/mm]


Betrachten wir nun speziell das Ereignis $A$, dass genau $3$ rote Kugeln gezogen werden.

Sei dazu für alle [mm] $\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5)\in\Omega$ [/mm]

       [mm] $X(\omega):=|\{i\in\{1,2,3,4,5\}\;|\;\omega_i\in\{R_1,R_2\}\}|$ [/mm]

die Anzahl der gezogenen roten Kugeln, wenn das Ergebnis [mm] $\omega$ [/mm] eingetreten ist.

Damit lässt sich $A$ als Teilmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] beschreiben durch

     $A:= [mm] \{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=3\}$. [/mm]


Nun gilt es $P(A)$ zu bestimmen.

Bestimme dazu [mm] $|\Omega|$ [/mm] und $|A|$.


> zu b) Da weiß ich nicht genau, wie ich dass zeigen soll.
> Ein kleiner Denkanstoß wäre nett.

Sei für [mm] $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$ [/mm]

      [mm] $A_k:=\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=k\}$ [/mm]

das Ereignis, dass genau $k$ rote Kugeln gezogen werden.

Bestimme nun [mm] $P(A_k)$. [/mm]

Zeige dann, dass die Abbildung

       [mm] $\{0,1,2,3,4,5\}\to[0,1],\quad k\mapsto P(A_k)$ [/mm]

eine Binomialverteilung ist.

Wie lauten ihre Parameter $n$ und $p$?


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Kombinatorik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:54 Fr 07.11.2014
Autor: tobit09

Wenn du grundsätzlich Schwierigkeiten beim Modellieren haben solltest, kannst du dir mal MBmein Tutorial "Stochastisches Modellieren für Einsteiger" anschauen.

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