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Forum "Topologie und Geometrie" - Kompakte Teilmengen nor. Räume
Kompakte Teilmengen nor. Räume < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kompakte Teilmengen nor. Räume: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 So 01.05.2005
Autor: Mathemagier

Hallo zusammen!

Ich sitze mittlerweile schon 2 Stunden vor dieser blöden Hausaufgabe, mittlerweile sehe ich wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

Sei E ein unendlich dim. norm. Raum. Beweise, dass jede kompakte Teilmenge von E nirgends dicht ist.

Meine bisherigen Überlegungen:
Sei C eine kompakte Teilmenge von E. C ist kompakt und daher abgeschlossen (E ist normiert, daher Hausdorff-Raum, jede kompakte Teilmenge eine H-Raums ist abgeschlossen).
Nirgends dicht heißt, dass das Innere des Abschlusses von C leer ist. Meine Idee war jetzt, das Ganze durch einen Widerspruch zu zeigen.
Zu zeigen ist also, dass das Innere vom Abschluss von C leer ist:
Sei x ein innerer Punkt von C. Daher kann um x eine offene [mm] $\epsilon$-Kugel [/mm] konstruiert werden, die ganz in C liegt.
Daher ist [mm] $B_{\epsilon}(x) \cap [/mm] E  [mm] \subseteq [/mm] C$.
So, weiter komme ich nicht. Das hat doch irgendwas mit dieser Hausdorff-Eigenschaft oben zu tun, oder? Kann ich jetzt einen geschlossene Eps-Kugel konstruieren und die irgendwie mit der offenen "vergleichen"? Wie komme ich dann zum Widerspruch?

Für Tipps wäre ich sehr dankbar.
Liebe Grüße, Andreas

        
Bezug
Kompakte Teilmengen nor. Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mo 02.05.2005
Autor: banachella

Hallo!

Ich glaube, dass man so auf einen Widerspruch kommt:
Angenommen, die kompakte Menge $C$ sei nicht nirgends dicht, das heißt, [mm] $\widehat C:={\overline C}^\circ\ne\emptyset$. [/mm] Da [mm] $\widehat [/mm] C$ offen ist gibt es einen Punkt [mm] $x\in\hat [/mm] C$ und ein [mm] $\varepsilon [/mm] >0$, so dass [mm] $U_\varepsilon(x)\subset \hat [/mm] C$. Da [mm] $\widehat C\subset [/mm] C$ (denn eigentlich ist ja [mm] $\widehat C=C^\circ$...) [/mm] ist [mm] $U_\varepsilon(x)\subset [/mm] C$ und damit [mm] $\overline{U_\varepsilon(x)}\subset [/mm] C$. Also abgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge ist [mm] $\overline{U_\varepsilon(x)}$ [/mm] kompakt. Aber das ist ein Widerspruch! Denn nach dem Satz von Riesz ist eine Kugel genau dann kompakt, wenn der normierte Raum endlich dimensional ist.

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
Kompakte Teilmengen nor. Räume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Mo 02.05.2005
Autor: Mathemagier

Vielen Dank für die Antwort, banachella!
Der Satz von Riesz war bei mir der Knackpunkt, woran es scheiterte.
Ideen muss man haben ;-)
Viele Grüße,
Andreas

Bezug
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