matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisKomplexe Abbildung surjektiv?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Abbildung surjektiv?
Komplexe Abbildung surjektiv? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Komplexe Abbildung surjektiv?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Do 14.01.2016
Autor: Orchis

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu einer komplexen Abbildung, die ich etwas besser verstehen will (S² ist als Riemannsche Zahlenkugel [mm] \IC \cup \{\infty\} [/mm] zu verstehen):

p: S² [mm] \to [/mm] S²
z [mm] \mapsto \frac{z^k}{|z^{k-1}|}. [/mm]

Also ich habe bemerkt, dass diese Abbildung normerhaltend ist und somit einen Punkt auf der Sphäre wieder auf einen Punkt auf der Sphäre abbildet (d.h. die Abbildung ist wohldefiniert).

1. Frage: Liegt der Bildpunkt zwangsläufig wieder auf dem selben Breitenkreis wie z? Nein, oder?

Außerdem frage ich mich, ob die Abbildung surjektiv ist...
Hintergrund der Frage: Ich hatte gedacht, dass diese Abbildung vllt. sogar eine Überlagerung von S² ist und da ich im Internet bei einer Definition von "Überlagerung" gelesen hatte, dass die Abbildung surjektiv sein müsse (muss sie das wirklich? Kann man das nicht eigentlich auch ohne sinnvoll definieren?) kommt es ja nun darauf an, ob p surjektiv ist.

Ach ja, wohin werden eigentlich 0 bzw. [mm] \infty [/mm] durch p abgebildet?

Vielen Dank für eure Unterstützung!
Orchis



        
Bezug
Komplexe Abbildung surjektiv?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 Fr 15.01.2016
Autor: Reynir

Hi,
Ich höre auch (?) gerade Funktionentheorie, vielleicht kommen wir ja zusammen zu was.
Brächte es vielleicht was, das in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] zu untersuchen?
Bei [mm] $\infty$, [/mm] kann man da nicht [mm] $w:=\frac{1}{z}$ [/mm] betrachten und dann in w=0 untersuchen, was passiert?
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
                
Bezug
Komplexe Abbildung surjektiv?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Fr 15.01.2016
Autor: Orchis

Hi! :)

Funktionentheorie höre ich gerade nicht (ist aber bestimmt sehr spannend!). Das ist im Grunde genommen durch eine Fragestellung aus der Topologie motiviert, aber ich dachte irgendwie dass das ganz gut in den Funktionentheorie-Kanal passt.

Ok, also so wie ich die Abbildung hingeschrieben habe ist sie glaube ich doch noch nicht wohldefiniert und momentan noch eine Abbildung
[mm] \IC \to \IC. [/mm]

Diese erweitert aber zu einer Abbildung [mm] S^2 \to S^2, [/mm] indem man noch [mm] \infty \mapsto \infty [/mm] fordert. Und da die Abbildung in 0 nicht definiert ist, könnte man doch 0 [mm] \mapsto [/mm] 0 fordern. Diese Abbildung ist offensichtlich stetig (Wenn wir eine 0-Folge betrachten, geht wegen der Normerhaltung auch das Bild gegen 0).

Also betrachten wir jetzt die Abbildung
p: [mm] S^2 \to S^2 [/mm]
z [mm] \mapsto z^k/|z^{k-1}| [/mm]
0 [mm] \mapsto [/mm] 0
[mm] \infty \mapsto \infty. [/mm]

Es bleibt nun die Frage, ob die Abbildung surjektiv ist. Ich weiß nicht wie man das sehen kann...

Viele Grüße,
Orchis


Bezug
                        
Bezug
Komplexe Abbildung surjektiv?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Fr 15.01.2016
Autor: Reynir

Ja, mit deinen neuen Setzungen sehe ich kein Problem. ;)
Jetzt bleibt also zu klären, ob es surjektiv ist.
Wie wäre es da konstruktiv vorzugehen und zu sagen sei $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] bel., dann wähle [mm] $z=\frac{\tilde{z}^k}{|\tilde{z}|^{k-1}}$, [/mm] dann müsste für [mm] $z=r\exp(i\phi)$ [/mm] doch [mm] $\tilde{z}=r \exp(i\frac{\phi}{k})$ [/mm] gelten, wenn ich nicht irre und damit wäre es surjektiv, oder habe ich einen Denkfehler?
Viel Grüße,
Reynir

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Abbildung surjektiv?: Stimmt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Fr 15.01.2016
Autor: Orchis

Hey! Du hast vollkommen Recht. Es gibt zu jedem z eine k-te komplexe Wurzel. Ich war irgendwie gedanklich zu sehr mit der Sphäre beschäftigt. Dank dir, auch wenn meine Frage rückblickend irgendwie doof war :D.
Wünsche dir noch viel Erfolg in Funktionentheorie!!!

Grüße,
Orchis

Bezug
                                        
Bezug
Komplexe Abbildung surjektiv?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 Fr 15.01.2016
Autor: leduart

Hallo
und deine Kugel wird k fach überdeckt, jeder Breitenkreis auf sich aber k-fach, die Pole auf sch selbst
Grüß ledum

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]