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Komplexe Ableitung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:44 So 24.05.2015
Autor: JigoroKano

Hallo liebe Community 😃,

Ich möchte gerne die Ableitungen von [mm] f_{1}(z)=(2i)^{z} [/mm] und [mm] f_{2}(z)=z^{1+i} [/mm] berechnen. Leider habe ich gar keine Idee, wie ich da rangehen soll.... Vllt könnt ihr mir ein bisschen helfen :)?

Beste Grüße :)

        
Bezug
Komplexe Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 So 24.05.2015
Autor: M.Rex

Hallo.

In den komplexen Zahlen [mm] \IC [/mm] gilt doch - ähnlich wie im rellen:

[mm] f'(z)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} [/mm]

Es gelten also weiterhin die aus den reellen Zahlen bekannten Regeln der Ableitung, also Summenregel, Faktorregel, Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel.

Leite die beiden Funktionen also mal nach den aus [mm] \IR [/mm] bekannten Regeln ab.

[mm] f_{2}(z)=z^{1+i} [/mm] sollte damit eigentlich problemlos ableitbar sein, das ist da die Form [mm] f(x)=x^{n}, [/mm] dessen Ableitung du sicher bilden kannst.

Und auch [mm] f_{1}(x)=(2i)^{z} [/mm] ist eine Exponentialfunktion der Form [mm] f(x)=a^{x}, [/mm] die Ableitung solltest du aus [mm] \IR [/mm] noch kennen.

Probier mal, wie weit du kommst, dann sehen wir weiter.

Marius

Bezug
        
Bezug
Komplexe Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:38 Di 26.05.2015
Autor: fred97

Die allgemeine Potenz [mm] a^b [/mm] mit a,b [mm] \in \IC [/mm] ist nicht eindeutig:

Es ist [mm] a^b=e^{a*log(b)} [/mm] und der komplexe Logarithmus ist nicht eindeutig.

Beispiel:

   [mm] (2i)^z= e^{z*log(2i)}, [/mm]

wobei die Logarithmen von 2i gegeben sind durch

  [mm] $log(2)+i*\bruch{\pi}{2}+2 [/mm] k [mm] \pi [/mm] i$  für k [mm] \in \IZ. [/mm]

Für jedes k [mm] \in \IZ [/mm] bekommen wir also ein "Funktion" [mm] (2i)^z. [/mm]

FRED

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