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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Lösungen
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Komplexe Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Di 03.11.2009
Autor: Schlumpfine-87

Hallihallo:),

Finden sie die komplexwertigen LÖsungen von:
z²=-8+i6


Kann mir da jemand einen Lösungansatz oder einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe rangehe?das wäre sehr nett.danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Komplexe Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Di 03.11.2009
Autor: Karl_Pech

Hallo,


Wenn du eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehen willst, kannst du die entsprechenden Werte in eine Formel in diesem Artikel einsetzen. Suche dort nach einer Formel, die mit [mm]\sqrt[n]{a+bi}[/mm] anfängt. Und vergiss nicht: [mm](-z)^2=z^2[/mm].



Viele Grüße
Karl




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Komplexe Lösungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Sa 07.11.2009
Autor: Aoide

Hi, ich muss diese Aufgabe auch lösen. Bin so weit:

z= [mm] \wurzel{-8+6i} [/mm]
= [mm] \wurzel{\wurzel{-8^2+6^2}}(cos\bruch{arctan(\bruch{6}{8})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] + [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{6}{8})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm]

(ich habe plus [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] weil die Zahl im zweiten Quadranten liegt, ist das richtig?)

weiter kommt da dann
[mm] \wurzel{10} ((cos\bruch{arctan(\bruch{3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] + [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm]

Stimmt das soweit?
Wie komme ich jetzt auf den arctan von [mm] \bruch{3}{4}. [/mm] Darf ja eigentlich keinen Taschenrechner benutzen.

Und wenn ich dann den richtigen Winkel habe, wie geht es dann weiter?

Dankeschön!

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Komplexe Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Sa 07.11.2009
Autor: deadlift

Hallo, deine Lösung ist ja schon fast richtig. Du hast nur bei der Berechnung des Zwischenwinkels übersehen, dass der Realteil ein negatives Vorzeichen hat. Folglich ist dieser dann:

[mm] \alpha=arctan(-3/4) [/mm] + [mm] \pi/2 [/mm]

Du musst außerdem beachten, dass es immer n Lösungen gibt, wenn
[mm] z^{n} [/mm] = a gelöst werden soll. Diese mehreren Lösungen ergeben sich dadurch, dass der Zwischenwinkel  [mm] \alpha [/mm] auch Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] annimmt.

[mm] \alpha_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha+2\pi*k}{n} [/mm] mit $k= 0, ..., n-1$

Deine erste Lösung ist dann:
$ z1= [mm] \wurzel{10} (cos\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{\pi}{2}}{2})$ [/mm]

Deine zweite Lösung ist:
$z2= [mm] \wurzel{10} (cos\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{5\pi}{2}}{2} [/mm] $ + $ [mm] isin\bruch{arctan(\bruch{-3}{4})+\bruch{5\pi}{2}}{2})$ [/mm]

Die Aufgabe gestaltet sich aber deutlich einfacher, wenn man die folgende Beziehung nutzt: [mm] e^{i*\alpha} [/mm] = [mm] cos(\alpha) [/mm] + [mm] i*sin(\alpha) [/mm]
In deiner Aufgabe wird dann die komplexe Zahl -8+6i zu ungefähr [mm] 10*e^{2,498i}. [/mm] Das Wurzelziehen ist nun deutlich leichter, aber du musst dennoch die Periodizität von [mm] k*2\pi [/mm] beachten.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.


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Komplexe Lösungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Sa 07.11.2009
Autor: Aoide

Ja, super!
D.h. ich muss [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] gar nicht umwandeln und es reicht, wenn ich es so lasse?

Die andere Rechung wäre dann also:
-8 + 6i = |z| * [mm] e^{i\alpha} [/mm]
z1 = 10* [mm] e^{i~2,5}^\bruch{1}{2} [/mm]  = [mm] \wurzel{10}*e^{i\bruch{5}{4}} [/mm]
z2 = 10* [mm] e^{i~10}^\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{i5} [/mm]

Ist das so korrekt? War nicht sicher, wie man [mm] \alpha [/mm] berechnet. Wahrscheinlich [mm] arctan\bruch{b}{a} [/mm] + [mm] \pi [/mm] ? und dann plus [mm] 2\pi [/mm] wegen der Periodizität?
Aber vielen Dank!!
Im Zweifelsfall kann ich ja dann meinen langen Weg  nehmen ;)

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Komplexe Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:48 So 08.11.2009
Autor: deadlift

Hi, ja [mm] $\alpha=arctan(\bruch{Im(z)}{Re(z)})$ [/mm]

In deinem Fall muss noch [mm] \pi [/mm] dazu addiert werden. Die [mm] \pi/2 [/mm] in meiner ersten Antwort sind Schwachsinn, sorry für die Verwirrung. Deine Lösungen sind dann aber trotzdem falsch.

[mm] $z^2 [/mm] = 6i-8 = [mm] \wurzel{6^2+(-8)^2}*e^{i(arctan(\bruch{-3}{4})+\pi)}\approx 10*e^{2,498i}$ [/mm]



Es gibt jetzt folgende k Lösungen ($k= 0, ..., n-1$):

$z0  = [mm] \wurzel{10*e^{i(2.498+0*2\pi)}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^\bruch{2.498i}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{1,249i}$ [/mm]

$z1  = [mm] \wurzel{10*e^{i(2.498+1*2\pi)}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{\bruch{8,781i}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*e^{4,391i}$ [/mm]



Wenn du im Taschenrechner die genauen Werte eingespeichert hast, kannst du deine Ergebnisse wieder auf die "klassische" Form bringen:

$z0 = [mm] \wurzel{10}*e^{1,249i} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*(cos(1,249)+isin(1,249)) [/mm] = 1+3i$

$z1 = [mm] \wurzel{10}*e^{4,391i} [/mm] = [mm] \wurzel{10}*(cos(4,391)+isin(4,391)) [/mm] = -1-3i$



Wenn du Zeit sparen willst, ist ein anderer Ansatz die quadratische Ergänzung:

[mm] $z^2 [/mm] = 6i-8 = 6i-9+1 = [mm] 6i-9-i^2 [/mm] = [mm] -(i-3)^2 [/mm] = [mm] i^2*(i-3)^2$ [/mm]

$z0 = [mm] \wurzel{i^2*(i-3)^2} [/mm] = i*(+(i-3)) = [mm] i^2-3i [/mm] = -1-3i$

$z1 = [mm] \wurzel{i^2*(i-3)^2} [/mm] = i*(-(i-3)) = [mm] -i^2+3i [/mm] = 1+3i$

Wie du siehst ist $z0=-z1$, d.h. wenn du eine Hälfte der Lösung kennst, kennst du in Zukunft bei Augabentypen von [mm] $z^n [/mm]  (n gerade)$ auch die zweite. Bei den reellen Zahlen ist es ja genauso. Puh hat das lange gedauert mit diesem nervigen Editor ^^.

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Komplexe Lösungen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:55 So 08.11.2009
Autor: Aoide

Ohje, jetzt bin ich wirklich etwas verwirrt.
Ich dachte, ich muss [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] addieren, weil die Zahl im 2.Quadranten liegt!? Oder hat das was mit dem negativen Vorzeichen von [mm] \alpha [/mm] zu tun?
Wenn ich [mm] \pi [/mm] zu dem negativen Wert addiere, liegt es ja immer noch im zweiten Quadranten, oder? D.h. wenn ich mit [mm] +\bruch{3}{4} [/mm] gerechnet hätte, wäre ich zum gleichen Ergebnis gekommen?

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Komplexe Lösungen: Arctan
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 So 08.11.2009
Autor: Infinit

Hallo Aoide,
der Arcustangens, den Du zum Bestimmen des Winkels nimmst, ist pi-periodisch. Durch das negative Vorzeichen beim Imaginärteil liefert Dir Dein Taschenrechner einen negativen Winkel, etwas mehr als -36 Grad, Das wäre im vierten Quadranten und kann also nicht stimmen. Deswegen musst Du zu diesem Wert [mm] \pi [/mm] dazuaddieren. Damit hast Du dann Betrag und Phasenwinkel von [mm] z^2 [/mm], dem ich hier wegen der unten auftauchenden Formel die Abkürzung [mm] w [/mm] mal zuordne. Dann das Ganze in die Formel von Moivre einsetzen und Du bekommst die, in diesem Fall zwei,  Lösungen raus.
Mit dem richtigen Winkel [mm] \varphi [/mm] und dem Betrag [mm] r [/mm] bekommst Du für die Größe [mm] w [/mm]allgemein geschrieben
$$ [mm] \wurzel[n]{w} [/mm] = [mm] r^{\bruch{1}{n}} \cdot e^{i \cdot (\bruch{\varphi}{n} + 2 \pi \bruch{k}{n})} [/mm] $$
mit k = 0,1,2,..... n-1.
Viele Grüße,
Infinit

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Komplexe Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 So 08.11.2009
Autor: deadlift

Hallo Aoide,

ich glaube, dein primäres Problem ist das Erkennen, in welchem Quadranten die Zahl liegt. Bei komplexen Zahlen werden auf der x-Achse der Realteil Re(z) und auf der y-Achse der Imaginärteil Im(z) aufgetragen. Der entstehende Zeiger hat nun einen Winkel [mm] \alpha [/mm] zur positiven x-Achse. Wie du vorher schon richtig erkannt hast, liegt deine Zahl im 2ten Quadranten, da ja Im(z) positiv und Re(z) negativ ist. Da [mm] \alpha_{falsch} [/mm] = arctan(-3/4) aber im 4ten Quadranten zu finden ist, musst du noch [mm] \pi [/mm] addieren, um somit um zwei Quadranten weiterzudrehen, sodass du dich nun im richtigen 2ten Quadranten befindest. Ich hoffe, diese Erklärung ist für dich anschaulich genug.

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