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Komplexe Polynomialgleichung: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:21 So 10/12/2017
Author: lu8

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen z element C der komplexen Polynomgleichung und zeichnen Sie diese
in die komplexe Zahlenebene
[mm] z^5 [/mm] + [mm] iz^3 [/mm] + [mm] 8iz^2 [/mm] = 8.

Hallo,

Ich habe Probleme bei der Lösung dieser Polynomialgleichung.
Mein Ansatz ist:
Zuerst durch Polynomdivision/Hornerschema versuchen [mm] z^2 [/mm] auszuklammern.
Hierzu habe ich durch ausprobieren von Vielfachen der 8, 2i als Nullstelle herausbekommen.
Dadurch bin ich schließlich auf diese Form gekommen:
[mm] z^2 *(i*(z^3/i [/mm] + z +8))= 0

Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich nun auf die weiteren 4 Lösungen komme.
Substitution ist in diesem Fall ja auch nicht Zielführend, da ich gerade und ungerade Exponenten bei z habe.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und auch eine Erklärung liefern, wie ich so etwas lösen kann.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Komplexe Polynomialgleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:40 So 10/12/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Bestimmen Sie alle Lösungen z element C der komplexen
> Polynomgleichung und zeichnen Sie diese
> in die komplexe Zahlenebene
> [mm]z^5[/mm] + [mm]iz^3[/mm] + [mm]8iz^2[/mm] = 8.
> Hallo,

>

> Ich habe Probleme bei der Lösung dieser
> Polynomialgleichung.
> Mein Ansatz ist:
> Zuerst durch Polynomdivision/Hornerschema versuchen [mm]z^2[/mm]
> auszuklammern.

Warum [mm] z^2, [/mm] wozu soll das führen?

> Hierzu habe ich durch ausprobieren von Vielfachen der 8,
> 2i als Nullstelle herausbekommen.

Da ist dir ein grober Schitzer unterlaufen, denn die 8 steht rechts vom Gleichheitszeichen. Zuerst muss man also die Gleichung auf die Nullform bringen:

[mm]z^5+i*z^3+8i*z^2-8=0[/mm]

Und deine angebliche Lösung 2i ist keine. -2i ist eine Lösung, aber es geht hier alles viel einfacher.

2i ist in der Tat eine Lösung der Gleichung, aber wenn du die abspaltest, bleibt immer noch ein Polynom 4. Ordnung, und außerdem wäre der Aufwand ziemlich groß. Es geht hier zum Glück viel einfacher.

> Dadurch bin ich schließlich auf diese Form gekommen:
> [mm]z^2 *(i*(z^3/i[/mm] + z +8))= 0

>

Ist dir an den Koeffizienten der Gleichung nichts aufgefallen? Es gibt hier eine Möglichkeit, das Polynom in zwei Faktoren zu zerlegen, einen kubischen und einen quadratischen.

Klammere mal aus den ersten beiden Summanden [mm] z^3 [/mm] aus und aus den letzten beiden 8i, dann solltest du sehen, was ich meine...

Anmerkungen:
Bei algebraischen Gleichungen höherer Ordnung sind Polynomdivision bzw. Hornerschema in der Regel schon aus dem Grund nicht sehr hilfreich, weil mit der Abspaltung einer Lösung ja wieder eine Gleichung ensteht, für die es entweder kein Lösungsverfahren gibt oder dieses nicht praktikabel ist.

Und ein wenig 'bauernschlau' darf man in der Mathematik schon auch sein: wenn im Zusammenhang mit komplexen Zahlen an der Uni solche Gleichungen als Übungsaufgaben gestellt werden, gibt es in den meisten Fällen eine geschickte Faktorisierung. Denn (das darf man dabei auch bedenken): eine Gleichung 5. oder höherer Ordnung kann man i.a. überhaupt nicht analytisch lösen. Wenn das von dir aber dennoch verlangt wird, dann heißt das ja eigentlich schon, dass es irgendeine Möglichkeit geben muss, dies dennoch tun zu können...


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Komplexe Polynomialgleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:00 So 10/12/2017
Author: donquijote


> Hallo,
>  
> > Bestimmen Sie alle Lösungen z element C der komplexen
>  > Polynomgleichung und zeichnen Sie diese

>  > in die komplexe Zahlenebene

>  > [mm]z^5[/mm] + [mm]iz^3[/mm] + [mm]8iz^2[/mm] = 8.

>  > Hallo,

>  >
>  > Ich habe Probleme bei der Lösung dieser

>  > Polynomialgleichung.

>  > Mein Ansatz ist:

>  > Zuerst durch Polynomdivision/Hornerschema versuchen [mm]z^2[/mm]

>  > auszuklammern.

>  
> Warum [mm]z^2,[/mm] wozu soll das führen?
>  
> > Hierzu habe ich durch ausprobieren von Vielfachen der 8,
>  > 2i als Nullstelle herausbekommen.

>  
> Da ist dir ein grober Schitzer unterlaufen, denn die 8
> steht rechts vom Gleichheitszeichen. Zuerst muss man also
> die Gleichung auf die Nullform bringen:
>  
> [mm]z^5+i*z^3+8i*z^2-8=0[/mm]
>  
> Und deine angebliche Lösung 2i ist keine. -2i ist eine,
> aber -8 ist kein Vielfaches davon.

Hallo Diophant,
ich glaube, da ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen. 2i ist doch Lösung, denn der kubische Faktor lautet [mm]z^3+8i[/mm].

>  
> > Dadurch bin ich schließlich auf diese Form gekommen:
>  > [mm]z^2 *(i*(z^3/i[/mm] + z +8))= 0

>  >
>  
> Ist dir an den Koeffizienten der Gleichung nichts
> aufgefallen? Es gibt hier eine Möglichkeit die Gleichung
> in zwei Faktoren zu zerlegen, einen kubischen und einen
> quadratischen.
>  
> Klammere mal aus den ersten beiden Summanden [mm]z^3[/mm] aus und
> aus den letzten beiden 8i, dann solltest du sehen, was ich
> meine...
>  
> Anemrkungen:
>  Bei algebraischen Gleichungen höherer Ordnung sind
> Polynomdivision bzw. Hornerschema in der Regel schon aus
> dem Grund nicht sehr hilfreich, weil mit der Abspaltung
> einer Lösung ja wieder eine Gleichung ensteht, für die es
> entweder kein Lösungsverfahren gibt oder dieses nicht
> praktikabel ist.
>  
> Und ein wenig 'bauernschlau' darf man in der Mathematik
> schon auch sein: wenn im Zusammenhang mit komplexen Zahlen
> an der Uni solche Gleichungen als Übungsaufgaben gestellt
> werden, gibt es in den meisten Fällen eine geschickte
> Faktorisierung. Denn (das darf man dabei auch bedenken):
> eine Gleichung 5. oder höherer Ordnung kann man i.a.
> überhaupt nicht analytisch lösen. Wenn das von dir aber
> dennoch verlangt wird, dann heißt das ja eigentlich schon,
> dass es irgendeine Möglichkeit geben muss, dies dennoch
> tun zu können...
>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
Komplexe Polynomialgleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:05 So 10/12/2017
Author: Diophant

Hallo donquijote,

> Hallo Diophant,
> ich glaube, da ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
> 2i ist doch Lösung, denn der kubische Faktor lautet
> [mm]z^3+8i[/mm].

ja, du hast natürlich recht. Ich bessere es oben aus. Vielen Dank für den Hinweis!

Gruß, Diophant

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