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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:33 Di 20.05.2014
Autor: gr5959

Mit welchen Rechenschritten kommt man zu dem Ergebnis, dass die dritte Wurzel aus minus 8 gleich 2 mal Quadratwurzel aus 2 mal i ist? G.R.



        
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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Di 20.05.2014
Autor: MathePower

Hallo gr5959,

> Mit welchen Rechenschritten kommt man zu dem Ergebnis, dass
> die dritte Wurzel aus minus 8 gleich 2 mal Quadratwurzel
> aus 2 mal i ist? G.R.
>  


Es gilt:

[mm]\wurzel{-8}=\wurzel{-1}*\wurzel{8}=i*\wurzel{8}=i*\wurzel{4*2}= i*2*\wurzel{2}[/mm]


Gruss
MathePower


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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 Di 20.05.2014
Autor: Herby

Hallo Mathepower,

das beantwortet aber nicht die Frage nach der 3. Wurzel :-)

Oder war die Fragestellung nicht ganz korrekt?

Grüße
Herby

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Komplexe Zahlen: Behauptung ist falsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 20.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Mit welchen Rechenschritten kommt man zu dem Ergebnis, dass
> die dritte Wurzel aus minus 8 gleich 2 mal Quadratwurzel
> aus 2 mal i ist? G.R.

mit keinem: das stimmt nämlich schlicht und ergreifend nicht.

Gruß, Diophant

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Komplexe Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Di 20.05.2014
Autor: gr5959

Es geht hier tatsächlich um die Frage, welche beiden Lösungen (ausser minus zwei) es für die dritte Wurzel aus minus 8 gibt.
Die Lösung, die ein Freund mir kommentarlos schickte und die ich hier vorlegte, ist wohl in der Tat falsch.
In Karl Smith, Trigonometry for College Students, p. 553, finde ich nun die Lösungen
1 + (Wurzel 3)i und 1 - (Wurzel 3)i
WolframAlpha (http://m.wolframalpha.com/input/?i=(-8)%5E(1%2f3) hat dagegen nur die erstere der beiden und als zweite Lösung
2 mal (dritte Wurzel aus -1)i
Ist die letztere Lösung lediglich eine andere Schreibweise der zweiten bei Smith?
Vor allem aber: welche Rechenschritte führen zu allen zitierten Lösungen? G.R.

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Di 20.05.2014
Autor: Herby

Hi,

[guckstduhier]  --> MBMoivre-Formel

Grüße
Herby

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Komplexe Zahlen: Zu Herbys Hinweis auf Moivre
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 21.05.2014
Autor: gr5959

Danke für den Verweis auf Loddars vorbildliche Darstellung der Moivre-Formel! Mit ihrer Hilfe konnte ich mir meine Frage nach den Rechenschritten selbst beantworten. Nun fühle ich mich durch Eure Reaktionen auf Matheraum ermutigt, mit dieser für mich schwierigen Materie weiterzumachen! Danke! G. R.

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Komplexe Zahlen: Moivre-Formel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 So 25.05.2014
Autor: gr5959

Auch die Neufassung hat meine Verwirrung nicht klären können. Mein Beispiel dritte Wurzel aus minus 8 schreibe ich zunächst um als z = a + bi = [mm] (-8)^1/3 [/mm] + 0i. r ist dann die Wurzel aus [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2, [/mm] hier Wurzel aus [mm] ((-8)^1/3)^2 [/mm] + [mm] (0i)^2. [/mm] Das ergibt [mm] (-8)^1/3) [/mm] = -2. Da aber r ein Abstand ist, also ein Betrag, ist r = 2. phi ist 180 Grad, weil der Punkt z in der Gausschen Ebene auf der negativen x-Achse liegt.
Die Moivre-Formel im Matheraum hat jedoch auch in der Neufassung Herbys am Anfang: dritte Wurzel aus z = DRITTE WURZEL AUS r mal (cos phi/3 + sin phi/3 i). Setze ich jedoch die dritte Wurzel aus 2 und phi = 180 Grad in die Formel ein, so komme ich zu falschen Ergebnissen. Die richtigen Ergebnisse (1 ± Wurzel aus 3; minus 2) bekomme ich nur dann, wenn r = 2 als Faktor vor der Klammer steht. Wo steckt hier der Fehler? G.R.

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 So 25.05.2014
Autor: Herby

Hallo,

> Auch die Neufassung hat meine Verwirrung nicht klären
> können.

mmpf

> Mein Beispiel dritte Wurzel aus minus 8 schreibe
> ich zunächst um als z = a + bi = [mm](-8)^1/3[/mm] + 0i.

[mm] z^3=-8+\red{0}i [/mm]

[mm] $-8+\red{0}i$ ist [/mm] dabei als ein Element der komplexen Zahlen zu verstehen.
Dieses Element kannst du nun auch p oder d oder ü nennen. Ich hatte es im angesprochenen Artikel [mm] \big{a} [/mm] genannt.

[mm] \big{a}=-8+\red{0}i [/mm] liegt auf der reellen Achse und hat vom Punkt (0;0) den Abstand [mm] |a|=\sqrt{(-8)^2+(\red{0})^2}=\sqrt{64}=8 [/mm]

Diesen Abstand bezeichnet man auch gerne als Radius r, wenn man sich die komplexen Zahlen geometrisch veranschaulicht. Also ist:

|a|=r=8 

Soweit ok?

Viele Grüße
Herby

ps: das mit der -2 ergibt sich erst später, wenn du mit sin und cos arbeitest.

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 So 25.05.2014
Autor: gr5959

Danke! Alles klar! G.R.

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Mi 21.05.2014
Autor: Herby

Hi,

> Es geht hier tatsächlich um die Frage, welche beiden
> Lösungen (ausser minus zwei) es für die dritte Wurzel aus
> minus 8 gibt.
> Die Lösung, die ein Freund mir kommentarlos schickte und
> die ich hier vorlegte, ist wohl in der Tat falsch.
> In Karl Smith, Trigonometry for College Students, p. 553,
> finde ich nun die Lösungen
> 1 + (Wurzel 3)i und 1 - (Wurzel 3)i
> WolframAlpha
> (http://m.wolframalpha.com/input/?i=(-8)%5E(1%2f3) hat
> dagegen nur die erstere der beiden und als zweite Lösung
> 2 mal (dritte Wurzel aus -1)i

sicher? http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z%5E3%3D-8

Grüße
Herby

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Komplexe Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:15 Mi 21.05.2014
Autor: fred97

Machen wirs kurz:

1. In [mm] \IR [/mm] ex. [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm]  nicht.

2. In [mm] \IC [/mm] sind die 3. Wurzeln aus 8, also die Lösungen der Gleichung [mm] z^3=-8 [/mm] gegeben durch:

    $-2,  [mm] \quad [/mm]  1+i [mm] \wurzel{3}$ [/mm]  und $1-i [mm] \wurzel{3}$ [/mm]

FRED

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Komplexe Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:24 Mi 21.05.2014
Autor: gr5959

Fred, diese Auskunft bringt mich nicht weiter, denn diese Lösungen stehen bereits in meiner Anfrage. Mein Problem ist, dass ich mir die Rechenschritte nicht zurechtlegen kann, die zu jenen Lösungen führen. Ich hoffe jedoch, dass  Henrys Hinweis auf die Moivre-Formel mir weiterhelfen wird. Jedenfalls Dank für Eure Mühen! G.R

Bezug
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