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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe Zahlen mit tan
Komplexe Zahlen mit tan < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Zahlen mit tan: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Sa 05.11.2011
Autor: omarco

Aufgabe
Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
[mm] z^{4}= 1+i*tan(\alpha) [/mm] mit [mm] -\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2} [/mm]


Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des Moivres lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm] tan(\alpha) [/mm] um?  

        
Bezug
Komplexe Zahlen mit tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo omarco,

> Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
>  [mm]z^{4}= 1+i*tan(\alpha)[/mm] mit
> [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des Moivres
> lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm]tan(\alpha)[/mm] um?  


Ja, diesen Aufgabentyp kannst Du mit dem Satz von Moivre lösen.

Wandle zunächst die komplexe Zahl in die Exponentialform um:

[mm]1+i*tan(\alpha)=r*e^{i*\phi}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Komplexe Zahlen mit tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Sa 05.11.2011
Autor: omarco


> Hallo omarco,
>  
> > Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
>  >  [mm]z^{4}= 1+i*tan(\alpha)[/mm] mit
> > [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  >  Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des
> Moivres
> > lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm]tan(\alpha)[/mm] um?  
>
>
> Ja, diesen Aufgabentyp kannst Du mit dem Satz von Moivre
> lösen.
>  
> Wandle zunächst die komplexe Zahl in die Exponentialform
> um:
>  
> [mm]1+i*tan(\alpha)=r*e^{i*\phi}[/mm]
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Ich frag mich jetzt wie ich den Betrag ausrechnen kann? Was mache ich [mm] tan(\alpha) [/mm] zum Quadrat?

Bezug
                        
Bezug
Komplexe Zahlen mit tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Sa 05.11.2011
Autor: MathePower

Hallo omarco,

> > Hallo omarco,
>  >  
> > > Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
>  >  >  [mm]z^{4}= 1+i*tan(\alpha)[/mm] mit
> > > [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  >  >  Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des
> > Moivres
> > > lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm]tan(\alpha)[/mm] um?  
> >
> >
> > Ja, diesen Aufgabentyp kannst Du mit dem Satz von Moivre
> > lösen.
>  >  
> > Wandle zunächst die komplexe Zahl in die Exponentialform
> > um:
>  >  
> > [mm]1+i*tan(\alpha)=r*e^{i*\phi}[/mm]
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Ich frag mich jetzt wie ich den Betrag ausrechnen kann? Was
> mache ich [mm]tan(\alpha)[/mm] zum Quadrat?  


[mm]tan(\alpha)[/mm]  läßt Du einfach so stehen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Komplexe Zahlen mit tan: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Sa 05.11.2011
Autor: abakus


> Hallo omarco,
>  
> > > Hallo omarco,
>  >  >  
> > > > Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
>  >  >  >  [mm]z^{4}= 1+i*tan(\alpha)[/mm] mit
> > > > [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  >  >  >  Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des
> > > Moivres
> > > > lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm]tan(\alpha)[/mm] um?  
> > >
> > >
> > > Ja, diesen Aufgabentyp kannst Du mit dem Satz von Moivre
> > > lösen.
>  >  >  
> > > Wandle zunächst die komplexe Zahl in die Exponentialform
> > > um:
>  >  >  
> > > [mm]1+i*tan(\alpha)=r*e^{i*\phi}[/mm]
>  >  >  
> > >
> > > Gruss
>  >  >  MathePower
> >
> > Ich frag mich jetzt wie ich den Betrag ausrechnen kann? Was
> > mache ich [mm]tan(\alpha)[/mm] zum Quadrat?  
>
>
> [mm]tan(\alpha)[/mm]  läßt Du einfach so stehen.

... oder du wandelst [mm] 1+tan^{2}x [/mm] um in
[mm] 1+\bruch{sin^2x}{cos^2x}=\bruch{cos^2x}{cos^2x}+\bruch{sin^2x}{cos^2x}=\bruch{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=\bruch{1}{cos^2x}. [/mm]
Daraus kann man sogar die Wurzel ziehen...
Gruß Abakus

>  
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
        
Bezug
Komplexe Zahlen mit tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 05.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie die Wurzeln der nachstehenden Gleichung.
>  [mm]z^{4}= 1+i*tan(\alpha)[/mm] mit
> [mm]-\bruch{\pi}{2}<\alpha<\bruch{\pi}{2}[/mm]
>  Kann ich diesen Aufgabentyp auch mit dem Satz des Moivres
> lösen? Wenn ja, wie gehe ich mit dem [mm]tan(\alpha)[/mm] um?


Guten Abend,

ich würde dir sehr empfehlen, dir zunächst einmal die
Lage der Zahl  $\ [mm] 1+i*tan(\alpha)$ [/mm]  in der komplexen Ebene
anhand einer einfachen Zeichnung zu vergegenwärtigen.
Dazu muss man (fast) nur wissen, wie beim Einstieg in die
Trigonometrie der Tangens (in einem rechtwinkligen
Dreieck) definiert wurde. Anschließend kann z.B. der
Satz von Moivre zum Zug kommen.

LG    Al-Chw.  


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