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Forum "komplexe Zahlen" - Komplexe zahlen
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Komplexe zahlen: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

Aufgabe
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi mit x, y [mm] \in \IR [/mm] dar.

[mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm]

Hallo,
ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter.

Undzwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt -0,6198 raus die i´s verschwinden bei mir +0,43i-0,43i.

da habe ich bestimmt falsch gerechnet oder die Aufgabe ist ein bisschen irritierend.

        
Bezug
Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Sa 13.04.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x+yi
> mit x, y [mm]\in \IR[/mm] dar.

>

> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> Hallo,
> ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> irgendwie nicht weiter.

>

> Undzwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt -0,6198


Was willst du denn hier ausklammern?

> raus die i´s verschwinden bei mir +0,43i-0,43i.

>

> da habe ich bestimmt falsch gerechnet oder die Aufgabe ist
> ein bisschen irritierend.

Um deinen Fehler zu finden, müssten wir das ganze schin detaillierter kennen.

Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.

Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³ ist.

Marius

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Komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:34 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

$ [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3 [/mm] ?

[mm] i^2 [/mm] = -1 und [mm] i^3 [/mm] = -i

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Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Sa 13.04.2013
Autor: M.Rex


> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] +
> [mm](\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3[/mm] ?

>

> [mm]i^2[/mm] = -1 und [mm]i^3[/mm] = -i

Jetzt fasse den korrekten Term mit deinen korrekten Informationen i²=-1 und i³=-i zusammen.

Marius

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Komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

soo wenn ich alles richtig gerechnet habe, kommt bei mir [mm] \bruch{7}{8}+1,27i [/mm] raus.
Aber ich habe mal eine weitere Frage.
Als ich 3a²b gerechnet habe hab ich, [mm] (\bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] geschrieben müsste es aber nicht [mm] [\bruch{3}{4} [/mm] *( [mm] -\bruch{\wurzel{3}}{2}i)] [/mm]  sodass es am ende [mm] \bruch{7}{8}-2,39i [/mm] sein müsste?

Bezug
                                        
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Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Sa 13.04.2013
Autor: M.Rex


> soo wenn ich alles richtig gerechnet habe, kommt bei mir
> [mm]\bruch{7}{8}+1,27i[/mm] raus.
> Aber ich habe mal eine weitere Frage.
> Als ich 3a²b gerechnet habe hab ich, [mm](\bruch{3}{4}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] geschrieben müsste es aber nicht
> [mm][\bruch{3}{4}[/mm] *( [mm]-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)][/mm] sodass es am
> ende [mm]\bruch{7}{8}-2,39i[/mm] sein müsste?



Warum schreibst du die scönen Wurzelterme plötzlich als Dezimalzahlen. Das solltest du dir im Studium - deinem Profil nach bist du gerade dabei - ganz schnell abgewöhnen.

[mm]\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) [/mm]

[mm] $=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{3}$ [/mm]


[mm] $=\frac{1}{8}-3\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}i^{2}-\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8}i^{3}$ [/mm]

[mm] $=\frac{1}{8}-\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}i+\frac{9}{8}\cdot(-1)-\frac{3\sqrt{3}}{8}\cdot(-i)$ [/mm]

Fasse nun weiter zusammen

Marius

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Komplexe zahlen: Letzter Summand
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Sa 13.04.2013
Autor: kaju35

Hallo Ellegance,

du hast den letzten Summanden hoch 4 gerechnet
statt hoch 3.

> [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm] +
> [mm](\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{9}{16}i^3[/mm] ?
>  

Es muss heißen :
[mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 = \bruch{1}{8}+(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) + (\bruch{3}{2} *\bruch{3}{4}i^2)+\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3[/mm].

Und damit wird die weitere Rechnung relativ einfach.

EDIT : Mir ist gerade aufgefallen, dass Du die Binomial-
Koeffizienten falsch angewendet hast. Die Summe muss
wohl heißen :

[mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 = \bruch{1}{8}-(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) + (\bruch{3}{2} \cdot\bruch{3}{4}i^2)-\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3[/mm].

Für die weitere Berechnung macht das aber - wie
Du Dich selbst leicht überzeugst - keinen Unterschied.

Gruß
Kai

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Komplexe zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

Achso. wenn ich es dort weiter rechne komme ich auf [mm] -\bruch{9}{8}-1,067i [/mm]
ist das richtig?

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Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Sa 13.04.2013
Autor: kaju35

Hallo Ellegance,

> Achso. wenn ich es dort weiter rechne komme ich auf
> [mm]-\bruch{9}{8}-1,067i[/mm]
>  ist das richtig?

leider nicht.

Du weisst ja, dass [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $i^3=-i$ [/mm]

Jetzt betrachte die Summe :

$ [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}-(\bruch{3}{4}\cdot\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{2} \cdot{}\bruch{3}{4}i^2)-\bruch{3\cdot\sqrt{3}}{8}i^3 [/mm] $

Du bekommst also (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge)
folgende Summanden :

[mm] 1)$\frac{1}{8}$ [/mm]

[mm] 2)$\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot i^2=-\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}=-\frac{9}{8}$ [/mm]

[mm] 3)$-\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}i$ [/mm]

[mm] 4)$-\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot i^3=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot [/mm] i$

Das musst Du jetzt eben noch zusammenfassen!

Gruß
Kai

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Komplexe zahlen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:04 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

also 1) und 2) zusammengefasst ergibt -1 3) zusammengefasst ergibt [mm] -\bruch{3\wurzel{3}}{8}i [/mm] und 4) [mm] \frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot [/mm] i

dann bleibt doch nur noch -1 übrig? :S
und wie soll ich das aufschreiben? -1+0i? soll es ja als x+yi darstellen.

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Komplexe zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Sa 13.04.2013
Autor: kaju35

Hallo Ellegance,
> also 1) und 2) zusammengefasst ergibt -1 3) zusammengefasst
> ergibt [mm]-\bruch{3\wurzel{3}}{8}i[/mm] und 4)
> [mm]\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}\cdot[/mm] i
>
> dann bleibt doch nur noch -1 übrig? :S

Bingo! [huepf]

>  und wie soll ich das aufschreiben? -1+0i? soll es ja als
> x+yi darstellen.

Ja, würde ich mal so verstehen.

Gruß
Kai


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Komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Sa 13.04.2013
Autor: ellegance88

Dankee :)

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Komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Sa 13.04.2013
Autor: reverend

Hallo Marius,

> > [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> > Hallo,
> > ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> > irgendwie nicht weiter.
> >
> > Und zwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt
> > -0,6198

[haee] Versteh ich nicht.

> Was willst du denn hier ausklammern?

Na, [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] natürlich.

[...]

> Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
> (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Igitt. Traust Du dem Formeleditor nicht mehr?

> Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.

>

> Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³ ist.

dito.

lg,
rev

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Komplexe zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:49 Sa 13.04.2013
Autor: M.Rex

Hallo reverend

> Hallo Marius,

>

> > > [mm](\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)^3[/mm]
> > > Hallo,
> > > ich habe ein Problem. Ich komme bei dieser Aufgabe
> > > irgendwie nicht weiter.
> > >
> > > Und zwar wenn ich es ausklammere bekomme ich direkt
> > > -0,6198

>

> [haee] Versteh ich nicht.

>

> > Was willst du denn hier ausklammern?

>

> Na, [mm]\tfrac{1}{2}[/mm] natürlich.

Ah, klar.

>

> [...]
> > Bedenke aber, dass nach dem Binomischen Lehrsatz gilt:
> > (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

>

> Igitt. Traust Du dem Formeleditor nicht mehr?

Ja, aber wenn man das ganze an einem Smartphone tippt, ging das so schneller.

>

> > Damit kannst du deinen Term ausmultiplizieren.
> >
> > Der Rest ist ein wenig Überlegung, was i² und i³
> ist.

>

> dito.

>

> lg,
> rev

Marius

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Komplexe zahlen: Verschwindende i's
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Sa 13.04.2013
Autor: kaju35

Hallo Ellegance,

das mit den verschwindenden i's könnte sogar
hinkommen. Tipp : Kennst Du die Binomial-Koeffizienten
für n=3?

Gruß
Kai

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