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Komplexer Logarithmus: Lösung bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Mo 02.03.2015
Autor: smoot

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] 2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1 [/mm]



    [mm] 2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1 [/mm]

<=> [mm] cos(z)-4cos(z)sin^{2}(z)=\bruch{1}{2} [/mm]

<=> [mm] e^{zj}+e^{-zj}+(e^{zj}+e^{-zj})(e^{2zj}-2+e^{-2zj}) [/mm] = 1

<=> [mm] e^{3zj}+e^{-3zj} [/mm] = 1

<=> w = [mm] e^{3zj} [/mm]

    w = [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}j [/mm]

Frage1: Wenn ich mich nicht irre müsste ich doch zwei Ergebnisse heraus bekommen bzw. ein Ergebnis mit  " [mm] \pm [/mm] ".
        Wäre das in diesem Fall:
        [mm] \bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j [/mm]
        ??
denn ich bin mir nicht sicher ob es nun:
        [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] oder
      
        [mm] \bruch{5\pi}{6} [/mm] als arg(w) ist.



dann würde ja folgen:

    w = ln(|w|)+j(arg(w)+2 [mm] \pi [/mm] k) k [mm] \in \IZ [/mm]

<=> w = [mm] ln(\bruch{1}{2})+j(\bruch{2\pi}{3}+2 \pi [/mm] k)

    ( :j -> ln dann auch durch j teilen obwohl [mm] \in \IR [/mm] ?)

<=> z = [mm] ln(\bruch{1}{2*3})+\bruch{\pi}{3}+2 \pi [/mm] k



Frage2: Stimmt es, das der Betrag ln(|w|) dann [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist? der Betrag wäre ja eigentlich r aus [mm] r*e^{j\Delta} [/mm]
mit r [mm] \in [0|\infty) [/mm] und [mm] \Delta \in (-\pi|\pi] [/mm] ..



Danke schonmal

*ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*






        
Bezug
Komplexer Logarithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Mo 02.03.2015
Autor: andyv

Hallo,


>  
>
> [mm]2cos(z)(1-4sin^{2}(z))=1[/mm]
>  
> <=> [mm]cos(z)-4cos(z)sin^{2}(z)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> <=> [mm]e^{zj}+e^{-zj}+(e^{zj}+e^{-zj})(e^{2zj}-2+e^{-2zj})[/mm] =
> 1
>  
> <=> [mm]e^{3zj}+e^{-3zj}[/mm] = 1
>  
> <=> w = [mm]e^{3zj}[/mm]
>  
> w = [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}j[/mm]

Die letzte Aequivalenz ist doch Unfug.

>  
> Frage1: Wenn ich mich nicht irre müsste ich doch zwei
> Ergebnisse heraus bekommen bzw. ein Ergebnis mit  " [mm]\pm[/mm] ".
>          Wäre das in diesem Fall:
>          [mm]\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j[/mm]
> ??

Ja, die Gleichung $w+1/w=1$ besitzt zwei Lösungen, nämlich [mm] $w_{\pm}=\bruch{1}{2}\pm \bruch{\wurzel{3}}{2}j [/mm] $

>  denn ich bin mir nicht sicher ob es nun:
>          [mm]\bruch{2\pi}{3}[/mm] oder
>        
> [mm]\bruch{5\pi}{6}[/mm] als arg(w) ist.
>  
>
>
> dann würde ja folgen:
>  
> w = ln(|w|)+j(arg(w)+2 [mm]\pi[/mm] k) k [mm]\in \IZ[/mm]
>  
> <=> w = [mm]ln(\bruch{1}{2})+j(\bruch{2\pi}{3}+2 \pi[/mm] k)

Was machst du hier?

Die Lösungen von [mm] $w_+=e^{3zj}$ [/mm] sind gegeben durch [mm] $3z_{+,k}j=\ln [/mm] w_+ [mm] +2\pi [/mm] j k$, wobei k  eine ganze Zahl ist und [mm] $\ln$ [/mm] den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet.
Wegen [mm] $|w_{\pm}|=1$ [/mm] ist [mm] $\ln w_+=\pi [/mm] j/3$

>
> ( :j -> ln dann auch durch j teilen obwohl [mm]\in \IR[/mm] ?)
>  
> <=> z = [mm]ln(\bruch{1}{2*3})+\bruch{\pi}{3}+2 \pi[/mm] k
>
>
>
> Frage2: Stimmt es, das der Betrag ln(|w|) dann [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ist? der Betrag wäre ja eigentlich r aus [mm]r*e^{j\Delta}[/mm]
>  mit r [mm]\in [0|\infty)[/mm] und [mm]\Delta \in (-\pi|\pi][/mm] ..
>
>
>
> Danke schonmal
>  
> *ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt*
>
>
>
>
>  

Liebe Grüße

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