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Forum "Vektoren" - Komponenten berechnen
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Komponenten berechnen: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Di 20.11.2012
Autor: Cloud123

Aufgabe
Ein Vektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] ist mit seinen Komponenten ax, ay und az im x - y - z - Koordinatensystem gegeben.
Berechnen Sie seine Komponenten ax', ay' und az' im x' - y' - z' -Koordinatensystem, das gegenüber dem x - y -z - Koordinatensystem um die z-Achse um [mm] \gamma [/mm] = 60° verdreht ist.

Hallo.
Kann mir wer erklären wie man die Aufgabe lösen kann.
Oder kann mir jemand eine Seite schicken die das gut erklärt damit ich es alleine versuchen kann?



        
Bezug
Komponenten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Di 20.11.2012
Autor: reverend

Hallo Cloud,

das wird jetzt schwieriger klingen, als es eigentlich ist...

> Ein Vektor [mm]\overrightarrow{a}[/mm] ist mit seinen Komponenten
> ax, ay und az im x - y - z - Koordinatensystem gegeben.

Schreib lieber [mm] a_x, a_y, a_z [/mm]

>  Berechnen Sie seine Komponenten ax', ay' und az' im x' -
> y' - z' -Koordinatensystem, das gegenüber dem x - y -z -
> Koordinatensystem um die z-Achse um [mm]\gamma[/mm] = 60° verdreht
> ist.

Und hier [mm] a_{x'}, a_{y'}, a_{z'}. [/mm]

>  Hallo.
>  Kann mir wer erklären wie man die Aufgabe lösen kann.
>  Oder kann mir jemand eine Seite schicken die das gut
> erklärt damit ich es alleine versuchen kann?

Eine Seite habe ich nicht gefunden, mag es aber geben.

Erstmal: was heißt wohl "um die z-Achse um [mm] \gamma=60^{\circ} [/mm] verdreht"?
Wir schauen von oben auf die z-Achse und drehen alles um 60° nach links.

Das heißt vor allem: $z=z'$ und damit auch [mm] a_{z'}=a_z. [/mm]
Damit wäre ja schonmal ein Drittel der Aufgabe gelöst.

Was passiert mit der x-Komponente? Drehen wir den Vektor [mm] (1,0,0)^{T}_{(x,y,z)} [/mm] mal um 60°. Dann wird er auf den Vektor [mm] \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\wurzel{3},0\right)^T_{(x,y,z)} [/mm] abgebildet. Der heißt jetzt in den neuen Koordinaten [mm] (1,0,0)^T_{(x',y',z')}. [/mm]

So ähnlich in y-Richtung: [mm] (0,1,0)^T_{(x,y,z)}\to\left(-\tfrac{1}{2}\wurzel{3},\tfrac{1}{2},0\right)^T_{(x,y,z)}=(0,1,0)^T_{(x',y',z')}. [/mm]

Zeichne Dir das mal in der x,y-Ebene auf und wende Dein Wissen über Sinus und Cosinus an.

Wie kannst Du jetzt die x'-Komponte [mm] a_{x'} [/mm] in Abhängigkeit von x,y darstellen? Und wie [mm] a_{y'}, [/mm] ebenfalls in (einer anderen) Abhängigkeit von x,y?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Komponenten berechnen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Mi 21.11.2012
Autor: Cloud123

Ok das heißt [mm] a_z_' [/mm] = 5 wenn [mm] a_z [/mm] = 5 ist.

Ich hab ne Seite gefunden.
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_03/ma_11_03_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_11/ma_11_03/ma_11_03_10.vscml.html

Kannst du gucken ob das richtig wäre:
Wenn das gegeben ist

[mm] a_x [/mm] = 10
[mm] a_y [/mm] = 16
[mm] a_z [/mm] = 5

[mm] a_x_' [/mm] = cos(60) * 10 - sin(60) * 16
= - 8,856
[mm] a_y_' [/mm] = sin(60) * 10 + cos(60) * 16
= 16,66

Bezug
                        
Bezug
Komponenten berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Mi 21.11.2012
Autor: chrisno

Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse gedreht.

Bezug
                                
Bezug
Komponenten berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Mi 21.11.2012
Autor: Calli


> Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben
> gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins
> Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse
> gedreht.

Fragt sich nur, ob eine Drehung 'cw' (mathematisch negativ) mit der Angabe 'Drehung um γ = 60°' ('ccw' bzw. mathematisch positiv) im Sinne der Aufgabenstellung ist.
[happy]


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Bezug
Komponenten berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 Mi 21.11.2012
Autor: reverend


> > Das sieht gut aus. Das neue Koordinatensystem ist von oben
> > gesehen (also so dass die der positive Teil der z-Achse ins
> > Auge sticht) nun um 60° im Uhrzeigersinn um die z-Achse
> > gedreht.
>
> Fragt sich nur, ob eine Drehung 'cw' (mathematisch negativ)
> mit der Angabe 'Drehung um γ = 60°' ('ccw' bzw.
> mathematisch positiv) im Sinne der Aufgabenstellung ist.
>  [happy]

Gute Frage, Calli.

Grüße
rev


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