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Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Sa 15.11.2014
Autor: Paivren

Guten Abend,

ich habe eine Verständnisschwierigkeit, die mir alle paar Monate Probleme macht.

Wenn ich einen Vektorraum mit Basis [mm] e_{i}, [/mm] i=1,2,3, habe,
dann kann jeder Vektor geschrieben werden als
v= [mm] a*e_{1} [/mm] + [mm] b*e_{2} [/mm] + [mm] c*e_{3} [/mm] = (a,b,c)

Das Standardskalarprodukt ist definiert als
[mm] v*w=a_{v}*a_{w}+b_{v}*b_{w}+c_{v}*c_{w} [/mm]

Es ist eine Abbildung, die zwei Vektoren auf eine reelle Zahl abbildet.
Was ist nun aber, wenn ich für die Vektoren eine andere Basis wähle?

Also [mm] v=m*u_{1}+n*u_{2}+o*u_{3}=(m, [/mm] n, o)

Dann ergibt das Skalarprodukt der selben Vektoren

[mm] v*w=m_{v}*m_{w}+n_{v}*n_{w}+o_{v}*o_{w}, [/mm]

was ja im Allgemeinen eine andere Zahl ergibt, obwohl ich die gleiche Abbildung verwendet habe.
Wenn ich in meinem Physikstudium verschiedene Basen betrachte, kommt da bei mir immer Verwirrung auf...

Kann mir jemand dieses 'Paradoxon' auflösen?



        
Bezug
Komponentenschreibweise: (unfertige Antwort)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Sa 15.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Guten Abend,
>  
> ich habe eine Verständnisschwierigkeit, die mir alle paar
> Monate Probleme macht.
>  
> Wenn ich einen Vektorraum mit Basis [mm]e_{i},[/mm] i=1,2,3, habe,
>  dann kann jeder Vektor geschrieben werden als
>  v= [mm]a*e_{1}[/mm] + [mm]b*e_{2}[/mm] + [mm]c*e_{3}[/mm] = (a,b,c)
>  
> Das Standardskalarprodukt ist definiert als
>  [mm]v*w=a_{v}*a_{w}+b_{v}*b_{w}+c_{v}*c_{w}[/mm]
>  
> Es ist eine Abbildung, die zwei Vektoren auf eine reelle
> Zahl abbildet.
>  Was ist nun aber, wenn ich für die Vektoren eine andere
> Basis wähle?
>  
> Also [mm]v=m*u_{1}+n*u_{2}+o*u_{3}=(m,[/mm] n, o)
>  
> Dann ergibt das Skalarprodukt der selben Vektoren
>
> [mm]v*w=m_{v}*m_{w}+n_{v}*n_{w}+o_{v}*o_{w},[/mm]
>  
> was ja im Allgemeinen eine andere Zahl ergibt, obwohl ich
> die gleiche Abbildung verwendet habe.
>  Wenn ich in meinem Physikstudium verschiedene Basen
> betrachte, kommt da bei mir immer Verwirrung auf...
>  
> Kann mir jemand dieses 'Paradoxon' auflösen?



Hallo Paivren,

zuallererst etwas zu den Bezeichnungsweisen. Ich bin
zwar nicht unbedingt immer ein Vertreter von indizierten
(nummerierten) Variablen. Doch im vorliegenden Fall
würde ich zum Beispiel anstatt

     $\ v*w\ =\ [mm] \pmat{a_v\\b_v\\c_v}*\pmat{a_w\\b_w\\c_w}\ [/mm] =\ [mm] a_v*a_w\,+\,b_v*b_w\,+\,c_v*c_w$ [/mm]

doch lieber schreiben:

     $\ v*w\ =\ [mm] \pmat{v_1\\v_2\\v_3}*\pmat{w_1\\w_2\\w_3}\ [/mm] =\ [mm] \sum_{i=1}^{3}v_i*w_i$ [/mm]

Nun ist dein Problem offenbar dieses:

Wir haben zwei Vektoren v und w  und zwei unterschiedliche
Koordinatensysteme [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] .  Wir wissen z.B. , dass im
(orthonormierten, euklidischen) Koordinatensystem  [mm] K_1 [/mm]
das Skalarprodukt die übliche Bedeutung des "Standard-
Skalarproduktes" hat. Nun brauchen wir aber nebst dem
Koordinatensystem [mm] K_1 [/mm] auch noch ein weiteres Koordinaten-
system [mm] K_2, [/mm] das vielleicht global (für den ganzen Raum) oder
nur lokal definiert ist. Es soll aber wenigstens lokal affin
zum Koordinatensystem [mm] K_1 [/mm] sein. Die Transformation
zwischen [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ist also eine lineare Transformation.

Falls nun diese Transformation z.B. "nur" eine Drehung des
Raumes ist, so liefert das "normale" Skalarprodukt der
beiden Vektoren v und w  in den beiden Koordinatensystemen
jeweils exakt dieselbe Zahl. Das liegt (geometrisch gesehen)
daran, dass die Drehung eine Kongruenzabbildung ist und
insbesondere auch alle Streckenlängen unverändert lässt.

Handelt es sich aber um eine andere Abbildung (zum
Beispiel eine Streckungs- oder Scherungsabbildung), so
muss man bei der Transformation in Bezug auf das
Skalarprodukt die Transformationsmatrix betrachten.

........
........


(werde den Artikel morgen weiterführen !)

LG  ,   Al-Chw.









Bezug
        
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Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Sa 15.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Guten Abend,
>  
> ich habe eine Verständnisschwierigkeit, die mir alle paar
> Monate Probleme macht.
>  
> Wenn ich einen Vektorraum mit Basis [mm]e_{i},[/mm] i=1,2,3, habe,
>  dann kann jeder Vektor geschrieben werden als
>  v= [mm]a*e_{1}[/mm] + [mm]b*e_{2}[/mm] + [mm]c*e_{3}[/mm] = (a,b,c)
>  
> Das Standardskalarprodukt ist definiert als
>  [mm]v*w=a_{v}*a_{w}+b_{v}*b_{w}+c_{v}*c_{w}[/mm]
>  
> Es ist eine Abbildung, die zwei Vektoren auf eine reelle
> Zahl abbildet.
>  Was ist nun aber, wenn ich für die Vektoren eine andere
> Basis wähle?
>  
> Also [mm]v=m*u_{1}+n*u_{2}+o*u_{3}=(m,[/mm] n, o)
>  
> Dann ergibt das Skalarprodukt der selben Vektoren
>
> [mm]v*w=m_{v}*m_{w}+n_{v}*n_{w}+o_{v}*o_{w},[/mm]
>  
> was ja im Allgemeinen eine andere Zahl ergibt, obwohl ich
> die gleiche Abbildung verwendet habe.
>  Wenn ich in meinem Physikstudium verschiedene Basen
> betrachte, kommt da bei mir immer Verwirrung auf...
>  
> Kann mir jemand dieses 'Paradoxon' auflösen?

Dein Problem ist mir nur so halb klar, weil ich keinen Grund sehe, warum
das Skalarprodukt "unabhängig von der Wahl der Basis" sein sollte - und
genau dies beobachtest Du ja auch, nämlich, dass bei einem Basiswechsel
auch die Abbildung mit transformiert werden muss - aber generell empfehle
ich Dir einfach mal, in der Bib in das Buch

    Tensoranalysis, Schade/Niemann

reinzuschauen.

Ich kenne mich in dem Bereich auch nicht wirklich aus, aber ich denke,
dass die Problematik, die Du hast, viel besser geklärt werden kann, wenn
Du Dich mal mit Tensoren befasst hast (in dem Buch geht man dahingehend
relativ kleinschrittig vor und, wie ich finde, verständlich, da oft wenigstens
mit *Anschauungsargumenten* auch oft argumentiert wird - ich denke, es
ist vor allem an Ingenieure und Physiker gerichtet, darf aber durchaus auch
von Mathematikern genutzt werden - an der ein oder anderen Stelle wird
man als Mathematiker vielleicht mal kurz die Stirn runzeln, aber praktikabel
wird das Gelernte sicher sein/werden).

Und soweit ich weiß, sollte das von Dir erwähnte Problem auftreten, wenn
Du keine

    []orthogonale Transformation

durchführst. (Sowas aber bitte nochmal nachprüfen, da *nachrechnen* mir
gerade zu aufwendig ist, und zum Nachschlagen mir etwas die Lust fehlt.)

Jedenfalls: Mit sowas beschäftigt man sich, soweit ich weiß, in der Tensoranalysis,
durchaus aber auch in der Differentialgeometrie.

Gruß,
  Marcel

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Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Sa 15.11.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Richtig - jeder Vektor lässt sich eindeutig durch die Basis darstellen.
Nun ist es aber der Fall , dass ein Vektorraum i.A. verschiedene Basen besitzt - falls du deine Basis wechselst (durch eine entsprechende Transformationsmatrix) so musst du natürlich bezüglich dieser neuen Basis auch eine Koordinatentransformation durchführen.

In der Physik wird dir sowas vermutlich in der Ähnlichkeitstheorie begegnen ( also du ordnest einer physikalischen Größe durch einen Wechsel der Basis neue Basisdimensionen zu).


Gruß Thomas

Bezug
                
Bezug
Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Sa 15.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Richtig - jeder Vektor lässt sich eindeutig durch die
> Basis darstellen.
> Nun ist es aber der Fall , dass ein Vektorraum i.A.
> verschiedene Basen besitzt - falls du deine Basis wechselst
> (durch eine entsprechende Transformationsmatrix) so musst
> du natürlich bezüglich dieser neuen Basis auch eine
> Koordinatentransformation durchführen.
>  
> In der Physik wird dir sowas vermutlich in der
> Ähnlichkeitstheorie begegnen ( also du ordnest einer
> physikalischen Größe durch einen Wechsel der Basis neue
> Basisdimensionen zu).

ich habe den Artikel bei Wikipedia zwar nur kurz überflogen, aber so vom
Gefühl her wurde ich aus dem, was da steht, sagen, dass die hier erwähnten
Gedanken eher im Bereich Tensoranalysis/Differentialgeometrie zu suchen
sind (beides wird durchaus etwa in der Relativititätstheorie angewendet).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Sa 15.11.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo,
> Hallo,
>  
> > Hallo,
>  >  
> > Richtig - jeder Vektor lässt sich eindeutig durch die
> > Basis darstellen.
> > Nun ist es aber der Fall , dass ein Vektorraum i.A.
> > verschiedene Basen besitzt - falls du deine Basis wechselst
> > (durch eine entsprechende Transformationsmatrix) so musst
> > du natürlich bezüglich dieser neuen Basis auch eine
> > Koordinatentransformation durchführen.
>  >  
> > In der Physik wird dir sowas vermutlich in der
> > Ähnlichkeitstheorie begegnen ( also du ordnest einer
> > physikalischen Größe durch einen Wechsel der Basis neue
> > Basisdimensionen zu).
>  
> ich habe den Artikel bei Wikipedia zwar nur kurz
> überflogen, aber so vom
>  Gefühl her wurde ich aus dem, was da steht, sagen, dass
> die hier erwähnten
>  Gedanken eher im Bereich
> Tensoranalysis/Differentialgeometrie zu suchen
>  sind (beides wird durchaus etwa in der
> Relativititätstheorie angewendet).

Das ist gut möglich - ich habe mich mit Tensoranalysis/Differentialgeometrie eigentlich noch nie richtig beschäftigt.
Tensoren haben allerdings bei Transformationen des Koordinatensystems sehr praktische Eigenschaften (das ist eigentlich ja auch ihre große Bedeutung bei der Relativitätstheorie , da sie invariant sind beim Wechsel des Bezugssystems )

>  
> Gruß,
>    Marcel

Gruß

Thomas

Bezug
        
Bezug
Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 Sa 15.11.2014
Autor: Paivren

Hallo Leute,

danke für euren Einsatz, ich wusste nicht, dass diese Frage nicht so einfach zu beantworten ist.

Mein konkretes Problem kommt aus der Festkörperphysik.

Ich habe ein räumliches Kristallgitter, das mit den Basisvektoren [mm] \vec{a}_{1},\vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{3} [/mm] beschrieben werden kann (nicht zwangsweise orthogonal).
Dann gibt es das dazu reziproke Kristallgitter, dessen Basisvektoren wie folgt definiert sind:

[mm] b_{i}= [/mm] C* [mm] \vec{a}_{j} [/mm] x [mm] \vec{a}_{k} [/mm] (i,j,k zyklisch vertauschbar, C=const)

Ein Raumgitter-Vektor kann also geschrieben werden als
[mm] \vec{v}= v_{1}\vec{a}_{1} [/mm] + [mm] v_{2}\vec{a}_{1} [/mm] + [mm] v_{3}\vec{a}_{3} [/mm]

Ein reziproker Gitter-Vektor kann geschrieben werden als
[mm] \vec{G}= hb_{1} [/mm] + [mm] kb_{2} [/mm] + [mm] lb_{3} [/mm]

Nun ist meine Frage:
Was ist [mm] (\vec{G})^{2}? [/mm]
Entweder: [mm] (\vec{G})^{2}=h^{2}+k^{2}+l^{2} [/mm]
Oder muss man da die besondere Struktur der Basisvektoren [mm] b_{i} [/mm] mit berücksichtigen?

Mir schwirrt da echt der Kopf...

Bezug
                
Bezug
Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:16 So 16.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Paivren
  

> Mein konkretes Problem kommt aus der Festkörperphysik.
>  
> Ich habe ein räumliches Kristallgitter, das mit den
> Basisvektoren [mm]\vec{a}_{1},\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{3}[/mm]
> beschrieben werden kann (nicht zwangsweise orthogonal).
>  Dann gibt es das dazu reziproke Kristallgitter, dessen
> Basisvektoren wie folgt definiert sind:
>  
> [mm]b_{i}=[/mm] C* [mm]\vec{a}_{j}\ \times \ \vec{a}_{k}[/mm] (i,j,k zyklisch
> vertauschbar, C=const)
>  
> Ein Raumgitter-Vektor kann also geschrieben werden als
>  [mm]\vec{v}= v_{1}\vec{a}_{1}\ + \ v_{2}\vec{a}_{1}\ + \ v_{3}\vec{a}_{3}[/mm]
>  
> Ein reziproker Gitter-Vektor kann geschrieben werden als
>  [mm]\vec{G}= hb_{1}\ + \ kb_{2}[/mm] + [mm]lb_{3}[/mm]

Moment:   Soll nun da der Vektor [mm] \vec{G} [/mm]  physikalisch
betrachtet eigentlich derselbe Vektor wie der erste Vektor [mm] \vec{v} [/mm]
im ursprünglichen Gitter bzw. Koo-sys sein ?

Und geht's dir effektiv nur um Beträge einzelner Vektoren
oder etwas allgemeiner um Skalarprodukte von 2 Vektoren
[mm] \vec{v} [/mm] , [mm] \vec{w} [/mm]  ?

  

> Nun ist meine Frage:
>  Was ist [mm](\vec{G})^{2}?[/mm]
>  Entweder: [mm](\vec{G})^{2}=h^{2}+k^{2}+l^{2}[/mm]
>  Oder muss man da die besondere Struktur der Basisvektoren
> [mm]b_{i}[/mm] mit berücksichtigen?


Ich habe mal kurz da nachgeschaut:   []Reziprokes Gitter

Damit kann ich mir das Ganze etwas konkreter vorstellen.
Das schätze ich bei geometrischen Fragen immer. Ich
setz mich morgen (auch aus eigenem Interesse) mal
ein bisschen dahinter und hoffe, dir dann eine ausführ-
lichere Antwort zu geben.

Eine Frage habe ich aber doch noch: Falls ein Gitter
mit den Basisvektoren [mm] \vec{a}_{i} [/mm]  nicht orthogonal ist,
kann man für einen darin dargestellten Vektor [mm] \vec{v} [/mm]
eigentlich schon seinen Betrag [mm] |\vec{v}| [/mm]  (in Bezug auf
eine euklidische Metrik) schon gar nicht darstellen als

      $\ [mm] |\vec{v}|\ [/mm] =\ [mm] \left|\pmat{v_1\\v_2\\v_3}\right|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$ [/mm]

sondern auch dabei muss man eine Koordinatentransformation
berücksichtigen und die dem "euklidischen" Normal-
Skalarprodukt entsprechende Bilinearform aufstellen.

Es könnte also nicht schaden, wenn du dein konkretes
Problem noch etwas weiter präzisieren würdest.

LG  ,    Al-Chw.

Bezug
                        
Bezug
Komponentenschreibweise: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:35 So 16.11.2014
Autor: Paivren


> Hallo Paivren
>    
>

Hallo Al-Schwarizmi.

> Moment:   Soll nun da der Vektor [mm]\vec{G}[/mm]  physikalisch
>  betrachtet eigentlich derselbe Vektor wie der erste Vektor
> [mm]\vec{v}[/mm]
>  im ursprünglichen Gitter bzw. Koo-sys sein ?

Nein, nein, ich wollte nur ausdrücken, dass man jeden Vektor [mm] \vec{G} [/mm] als Linearkombination aus den [mm] \vec{b}_{i} [/mm] schreiben kann, [mm] \vec{v} [/mm] entsprechend als Kombination aus den [mm] \vec{a}_{i}. [/mm]
Es handelt sich also nicht um zwei konkrete, physikalisch gleiche Vektoren.

> Und geht's dir effektiv nur um Beträge einzelner Vektoren
>  oder etwas allgemeiner um Skalarprodukte von 2 Vektoren
> [mm]\vec{v}[/mm] , [mm]\vec{w}[/mm]  ?

Das ist ne gute Frage, wobei ich dachte, dass sie im Fall der euklidischen Norm ja auf das gleiche hinauslaufen.

Ich weiß nicht genau, wie man den Betrag von [mm] \vec{G} [/mm] bildet, wenn man ihn zum einen mit der Basis [mm] \vec{b}_{i} [/mm] schreiben kann, und die [mm] b_{i} [/mm] zum anderen aus Vektoren [mm] \vec{a}_{i} [/mm] bestehen... die ja wiederum eine Basis eines anderen Vektorraums/Gitters sind...
Präziser kann ich es nicht ausdrücken, in meinem Kopf ist das auch alles sehr 'schwammig' :(


> Eine Frage habe ich aber doch noch: Falls ein Gitter
>  mit den Basisvektoren [mm]\vec{a}_{i}[/mm]  nicht orthogonal ist,
>  kann man für einen darin dargestellten Vektor [mm]\vec{v}[/mm]
>  eigentlich schon seinen Betrag [mm]|\vec{v}|[/mm]  (in Bezug auf
>  eine euklidische Metrik) schon gar nicht darstellen als
>  
> [mm]\ |\vec{v}|\ =\ \left|\pmat{v_1\\v_2\\v_3}\right|\ =\ \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}[/mm]
>  
> sondern auch dabei muss man eine Koordinatentransformation
>  berücksichtigen und die dem "euklidischen" Normal-
>  Skalarprodukt entsprechende Bilinearform aufstellen.

Heißt das, die bekannte euklidische Norm kann auf diese Weise nur gebildet werden, wenn die Basisvektoren orthogonal sind?

Ich warte gerne auf die ausführlichere Antwort von dir :)


Gruß


Bezug
                                
Bezug
Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:16 So 16.11.2014
Autor: chrisno

[mm] $\vec{G}$ [/mm] ist eine physikalische Größe. Diese ist unabhängig davon, wie sie dargestellt wird. Egal welche Basisvektoren du wählst, kommt der gleiche Betrag in 1/m heraus.
Natürlich benötigst Du orthogonale Basisvektoren um den Betrag mit der Wurzel aus der Summe der Quadrate zu berechnen. Probier das doch einfach mal aus. Basisvektoren, dargestellt im kartesischen Kordinatensystem [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{\br{1}{\wurzel{2}}\\\br{1}{\wurzel{2}}}$. [/mm] Nun stell mal mit dieser Basis [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] dar.

Bezug
                                        
Bezug
Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 So 16.11.2014
Autor: Paivren

Hallo Chrisno,

das wäre dann

[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] -1*\vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \wurzel{2} \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm]

--> [mm] \vektor{-1 \\ \wurzel{2}} [/mm] in dieser Basis.

Da kommt aber dann nicht 1 als Betrag raus. Also hängt der Betrag doch von der Basis ab?

Bezug
                                                
Bezug
Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 So 16.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Chrisno,
>  
> das wäre dann
>  
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]-1*\vektor{1 \\ 0}[/mm] + [mm]\wurzel{2} \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>  
> --> [mm]\vektor{-1 \\ \wurzel{2}}[/mm] in dieser Basis.
>  
> Da kommt aber dann nicht 1 als Betrag raus. Also hängt der
> Betrag doch von der Basis ab?

Du verwechselst den Betrag des Vektors mit

    dem Betrag des Koordinatendarstellungsvektors!
(Letzteren betrachtest Du etwa bzgl. der Standardbasis des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] und
die zugehörige "Normabbildung" läßt Du *beim Alten*!
Man könnte auch sagen: Du transformierst, aber Du transformierst nur
die Elemente, Abbildungen läßt Du bei der Transformation unberührt...)

Vielleicht liest Du auch einfach mal, was

    []fru hier (Beitrag No. 4)

geschrieben hat. Ich denke, da resultiert Dein Problem zudem vielleicht
auch daraus, dass Du nicht zwischen Koordinaten und Komponenten
unterscheidest!
(In der Mathematik machen das auch viele nicht, und oft denke ich da auch
nicht dran, zumal es in vielen Fällen auch egal ist.)

Edit: Wie ich gerade nachträglich bemerkt hatte, lag' das Problem auch gar
nicht direkt bei Dir. Das, was man Dir sagte, war schon so gemeint, dass
Du rein mit den Koordinaten den Betrag des Vektors ausrechnen kannst
(das ist nämlich nichts anderes als Pythagoras).
Nur: Bei der transformierten Basis müssen die Vektoren dann auch
orthogonal sein. Das, was ich oben anmerkte, bezog sich auf die Tatsache
*irgendeiner* Basistransformation - die Normiertheit reicht dann nicht! Ich
nehme an, Chrisno hat sich dahingehend verschrieben.

Nebenbei: Normalerweise lernt man in der linearen Algebra durchaus, dass
man, wenn man die Länge eines Vektors *mit Pythagoras* (also bzgl. einer
Basis, deren Vektoren orthogonal und normiert sind) berechnet, diese
Berechnung unabhängig davon ist, in welcher DERARTIGER Basis man
rechnet.
(Der Ursprung darf aber NICHT verschoben werden!)

Dann darf man diese Norm quasi *rein aus den Koordinaten*berechnen,
und das ist auch nicht schwer zu beweisen!
Soweit ich weiß, gehen aber auch Schade/Niemann in ihrem Buch nochmal
darauf ein (in etwas anderer Notation, denn dort wird etwa die Einsteinsche
Summenkonvention verwendet). Und vielleicht auch *nur* für den
eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Fall!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 16.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

was ich gerade zudem gesehen habe: Chrisno hat ein schlechtes Beispiel
gewählt, denn

    [mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}}$ [/mm]

sind zwar normiert, stehen aber nicht mehr orthogonal aufeinander.

Mach' mal die Koordinatentransformation mit neuer Basis

     [mm] $\vektor{\red{\,-\,}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}}$ [/mm] und [mm] $\vektor{\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}}\,.$ [/mm]

Dann klappt das auch mit der Norm! (Der Grund dazu steht in der pdf-Datei,
die ich verlinkt habe!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 So 16.11.2014
Autor: chrisno

Darum ging es mir ja gerade. Reziproke Gittervektoren sind nicht alle orthogonal. Das sind sie nur für die orthorhombischen, tetragonalen und kubischen Kristallsysteme.

Nachtrag: Das Wort Basis fehlte. Basisvektoren des reziproken Gitters ...

Bezug
                                                                
Bezug
Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:22 So 16.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Chrisno,

> Darum ging es mir ja gerade. Reziproke Gittervektoren sind
> nicht alle orthogonal. Das sind sie nur für die
> orthorhombischen, tetragonalen und kubischen
> Kristallsysteme.

okay, dann habe ich das irgendwie falsch verstanden. Ich dachte, er sollte
sehen, dass sich die Norm rein mit dem Pythagoras berechnen läßt. Aber
Du wolltest irgendwie etwas anderes....

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Komponentenschreibweise: P.S.: Links und Weiteres
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 So 16.11.2014
Autor: Marcel

[]Wiki: Normerhaltung

[]Wiki: Isometrie (bei VRen mit Skalarprodukt)

[]Länge- und Winkeltreue bei Multiplikation mit Orthogonalmatrix (besser würde man Orthonormalmatrix sagen)

Und vielleicht mal zu der "Berechnung der Norm-Länge rein über die
Koordinatendarstellung":
Sei [mm] $x=\sum_{k=1}^n r_k e_k$ [/mm] die Darstellung von [mm] $x\,$ [/mm] bzgl. der "Ausgangs-Standard-Basis"
[mm] $\mathcal{E}=(e_1,...,e_n)\,.$ [/mm]
(Koordinatenvektor: [mm] $\vektor{r_1\\.\\.\\.\\r_n}_{\!\!\mathcal{E}}\,.$) [/mm]

Sei [mm] $x=\sum_{k=1}^n s_k b_k$ [/mm] die Darstellung bzgl. der neuen Basis [mm] $\mathcal{B}=(b_1,...,b_n)$ [/mm]
(diese letzte soll (auch) ONB sein).
(Koordinatenvektor: [mm] $\vektor{s_1\\.\\.\\.\\s_n}_{\!\!\mathcal{B}}\,.$) [/mm]

Berechne einfach mal

    [mm] $\,,$ [/mm]

wobei [mm] $x\,$ [/mm] in der letzten Darstellung eingesetzt wird, unter Beachtung,
dass das Skalarprodukt [mm] $<.,.>\,$ [/mm] wegen der ONB-Eigenschaft von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm]

    [mm] $=1$ [/mm] und [mm] $=0$ [/mm] für $i [mm] \not=j$ [/mm]

erfüllt (neben den anderen Eigenschaften, die ein Skalarprodukt hat, damit
es überhaupt den Namen tragen darf).

Beachte: [mm] $=\|x\|^2$ [/mm]

Nach Definition ist

    [mm] $\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^n {r_k}^2}$ [/mm]

klar, und oben solltest Du dann auch

    [mm] $\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^n {s_k}^2}$ [/mm]

erhalten! Insgesamt also

    [mm] $\sqrt{\sum_{k=1}^n {r_k}^2}=\|x\|=\sqrt{\sum_{k=1}^n {s_k}^2}$ [/mm]

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Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:15 So 16.11.2014
Autor: Paivren

Hallo Marcel,

danke für die ausführlichen Antworten, nur verwirren die mich leider auch ein wenig.

Bei Wikipedia steht, dass das Standardskalarprodukt IMMER gebildet werden kann, indem man den Pythagoras auf die Vektorkomponenten anwedet.
Bei nicht orthonormalen Basen ist das allerdings NICHT das gleiche, wie den Pythagoras auf die Koordinaten anzuwenden (denn die hängen von der Basiswahl ab).

Nochmal zu meinem konkreten Problem:

Ich habe ein Raumgitter, sagen wir Vektorraum V.
Dort benutze ich die Basis [mm] a_{i}, [/mm] i=1,2,3
(nicht zwangsweise orthonormal)

Dann habe ich das reziproke Gitter W mit der Basis [mm] b_{i}=K*(a_{j} [/mm] x [mm] a_{k}), [/mm] mit K=const, i,j,k zyklisch vertauschbar.

Mathematisch ist das wohl eine Abbildung
f: V-->W.

Ich möchte jetzt den Betrag eines Vektors in W haben.
Der Betrag ist unabhängig von der gewählten Basis.

Sei w= [mm] hb_{1}+kb_{2}+lb_{3} [/mm]  mit [mm] h,k,l\in \IQ. [/mm]
Wären die [mm] b_{i} [/mm] orthonormal, so wäre
[mm] |w|=\wurzel{h^{2}+k^{2}+l^{2}} [/mm]

Stattdessen muss ich nun die Komponenten betrachten.
Diese sind [mm] hb_{1}, kb_{2}, lb_{3}, [/mm] richtig?
--> |w|= [mm] \wurzel{(hb_{1})^{2}+(kb_{2})^{2}+(lb_{3})^{2}} [/mm]

Wenn ich für die [mm] b_{i} [/mm] jetzt die Kreuzprodukte einsetze, dann kann ich die aber doch gar nicht berechnen, ohne den Winkel zwischen den Vektoren [mm] a_{i} [/mm] zu kennen... und die Kreuzproduktformel für zwei Vektoren im [mm] \IR^{3} [/mm] kann ich nur anwenden, wenn ich die Koordinatendarstellung von den [mm] a_{i} [/mm] benutze, die aber wiederum von der Basis abhängt... wobei die [mm] a_{i} [/mm] ja selber Basisvektoren sind.

Oh mann, siehst du meine Verwirrung?^^

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Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:53 So 16.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Bei Wikipedia steht, dass das Standardskalarprodukt IMMER
> gebildet werden kann, indem man den Pythagoras auf die
> Vektorkomponenten anwedet.

Genaue Quelle ?
Dir ist ja schon bewusst, dass der Satz von Pythagoras
rechtwinklige Dreiecke voraussetzt, wenn man wirklich
Längen von Hypotenusen, Diagonalen in Rechtecken
oder eben Beträge von Vektoren berechnen will.
Natürlich kann man [mm] \sqrt{h^2+k^2+l^2} [/mm] auch berechnen,
falls h,k,l die Koordinaten eines Vektors w bezüglich
eines beliebigen Koordinatensystems sind - aber
man kann dann nicht mehr sagen, damit die Länge des
Vektors ermittelt zu haben.

>  Bei nicht orthonormalen Basen ist das allerdings NICHT das
> gleiche, wie den Pythagoras auf die Koordinaten anzuwenden
> (denn die hängen von der Basiswahl ab).
>  
> Nochmal zu meinem konkreten Problem:
>  
> Ich habe ein Raumgitter, sagen wir Vektorraum V.
>  Dort benutze ich die Basis [mm]a_{i},[/mm] i=1,2,3
> (nicht zwangsweise orthonormal)
>  
> Dann habe ich das reziproke Gitter W mit der Basis
> [mm]b_{i}=K*(a_{j}[/mm] x [mm]a_{k}),[/mm] mit K=const, i,j,k zyklisch
> vertauschbar.
>  
> Mathematisch ist das wohl eine Abbildung
> f: V-->W.
>  
> Ich möchte jetzt den Betrag eines Vektors in W haben.
>  Der Betrag ist unabhängig von der gewählten Basis.

  

> Sei w= [mm]hb_{1}+kb_{2}+lb_{3}[/mm]  mit [mm]h,k,l\in \IQ.[/mm]
>  Wären die
> [mm]b_{i}[/mm] orthonormal, so wäre
>  [mm]|w|=\wurzel{h^{2}+k^{2}+l^{2}}[/mm]

  

> Stattdessen muss ich nun die Komponenten betrachten.
>  Diese sind [mm]hb_{1}, kb_{2}, lb_{3},[/mm] richtig?
>  --> |w|= [mm]\wurzel{(hb_{1})^{2}+(kb_{2})^{2}+(lb_{3})^{2}}[/mm]       [notok]

Das geht gar nicht. Oder meinst du mit den Quadraten
"Skalar-Quadrate" ?  ...... aber auch dann passt es nicht.
Man braucht einen Bezug zu einem orthonormierten KS,
in welchen die Basisvektoren [mm] b_k [/mm] dargestellt werden.
Mittels der Transformationsmatrix kann man dann eine
Umrechnungsformel auch für Beträge aufstellen.
Genau dies wollte ich heute machen, hatte aber dann
noch anderes zu erledigen. Hab aber vor, dies noch
fertig- und hier rein zu stellen.  Dabei geht es im Grund
etwa um das, was auch z.B. in Wikipedia []da zu finden ist.
Ich möchte aber das für uns hier Wesentliche in
kürzerer Form darstellen. Auch dafür benötige ich
noch etwas Zeit.
  
Schönen Abend !

Al-Chw.

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Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 So 16.11.2014
Autor: Paivren

Hallo,

> Genaue Quelle ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Reelles_Standardskalarprodukt

Wobei es da um reelle Vektoren geht. Aber auch da multiplizieren sie einfach nur die Koordinaten, also die
Einträge in [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}. [/mm]
Geht man bei dieser Schreibweise immer von einer Orthonormalbasis aus, oder warum können die das da so einfach sagen?


> Das geht gar nicht. Oder meinst du mit den Quadraten
>  "Skalar-Quadrate" ?  ...... aber auch dann passt es
> nicht.
>  Man braucht einen Bezug zu einem orthonormierten KS,
>  in welchen die Basisvektoren [mm]b_k[/mm] dargestellt werden.

Wie ist es, wenn die [mm] a_{i} [/mm] orthogonal sind?
Dann müssten die [mm] b_{i} [/mm] ja auch orthogonal sein.
Aber normiert sind die nicht, denn die [mm] a_{i} [/mm] haben als Länge die Gitterkonstante in die jeweilige Richtung...

>  Mittels der Transformationsmatrix kann man dann eine
>  Umrechnungsformel auch für Beträge aufstellen.
>  Genau dies wollte ich heute machen, hatte aber dann
>  noch anderes zu erledigen. Hab aber vor, dies noch
> fertig- und hier rein zu stellen.  Dabei geht es im Grund
>  etwa um das, was auch z.B. in Wikipedia
> []da
> zu finden ist.
> Ich möchte aber das für uns hier Wesentliche in
>  kürzerer Form darstellen. Auch dafür benötige ich
>  noch etwas Zeit.
>    
> Schönen Abend !
>  
> Al-Chw.

Werds mir auf jeden Fall durchlesen...
Dir auch!

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Komponentenschreibweise: Transformation Skalarprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 So 16.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

So, jetzt bin ich etwa da angekommen, wo ich hin
wollte. Ich will aber zunächst doch "nur" den über-
schaubaren Fall betrachten, wo wir zunächst ein
euklidisches Koordinatensystem A mit den Basis-
vektoren [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm]  und dann ein weiteres System B
mit Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm]  haben, das zwar
noch linear, aber weder rechtwinklig noch normiert
sein muss.

Im System A haben wir das vertraute Skalarprodukt
und die übliche Berechnung für den Vektorbetrag:

Wenn   $\ v\ =\ [mm] x_1*a_1+x_2*a_2+x_3*a_3$ [/mm]  , dann ist

      $\ |v|\ = [mm] \left|\pmat{x_1\\x_2\\x_3}_A\,\right|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{x_1^{\,2}+x_2^{\,2}+x_3^{\,2}}$ [/mm]

Wenn wir nun denselben Vektor V im anderen System B
darstellen, haben wir:
      
     $\ v\ =\ [mm] y_1*b_1+y_2*b_2+y_3*b_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{y_1\\y_2\\y_3}_B$ [/mm]

Um mir Mehrfachindices möglichst zu ersparen, notiere
ich also die Koordinaten im System A mit [mm] x_i [/mm]  und die im
System B  mit [mm] y_k [/mm] .
Die Basisvektoren des Systems A sind natürlich die
gewohnten Einheitsvektoren in Richtung der 3 Achsen.
Zu einer Matrix nebeneinandergestellt ergeben sie
die $\ [mm] 3\times [/mm] 3$ - Einheitsmatrix
Die Basisvektoren des Systems b seien 3 beliebige (aber
linear unabhängige) Vektoren, beispielsweise:

     $\ [mm] b_1\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\0}_A\qquad b_2\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\1}_A\qquad b_3\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\1\\1}_A$ [/mm]

(das Beispiel halte ich absichtlich recht einfach,
um das Nachrechnen von Hand zu erleichtern !)
Zu einer Matrix zusammengestellt ergeben sie die
Transformationsmatrix T, die zwischen den beiden
Koordinatensystemen A und B vermittelt:

      $\ T\ =\ [mm] \pmat{1&1&0\\0&0&1\\0&1&1}$ [/mm]


Haben wir also etwa einen Vektor  v , der im System B
so aussieht:

    $\ v\ =\ [mm] \left \underbrace{\pmat{2\\1\\-3}}_{y}\right|_B\ [/mm] =\ [mm] 2\,b_1+b_2-3\,b_3$ [/mm]

so erhält man seine Darstellung im System A, indem
man hier rechts für die  [mm] b_j [/mm]  deren Darstellungen
bezüglich System A einsetzt und das Ganze ausrechnet.

Diese Berechnung kann man nun kurz auch so notieren:

    $\ x\ =\ T*y$

Konkret: der Vektor v , welcher im System B durch das
Tripel y (als Spaltenvektor dargestellt) dargestellt wird,
erhält im System A das Tripel x bzw. den Spaltenvektor

    $\ x\ =\ T*y\ =\  [mm] \pmat{1&1&0\\0&0&1\\0&1&1}\,*\,\pmat{2\\1\\-3}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{3\\-3\\-2}$ [/mm]

(Gerne nachrechnen ...)
Umgekehrt kann man ausgehend von diesem Tripel x
zum Tripel y zurückrechnen mittels

    $\ y\ =\ [mm] T^{-1}*x$ [/mm]

(Übung:  Matrix  [mm] T^{-1} [/mm]  berechnen , Beispiel kontrollieren)

Hauptfrage wäre nun:  Wenn ein Vektor v im System B
durch einen Spaltenvektor  $\ y\ =\ [mm] \pmat{y_1\\y_2\\y_3}_B$ [/mm]  beschrieben ist,
wie berechnen wir dann auf möglichst effiziente Weise
dessen Betrag (oder auch für zwei beliebige so dar-
gestellte Vektoren v und w deren "übliches" euklidi-
sches Skalarprodukt). Dabei sei außer dem Tripel y
zunächst nur noch die Transformationsmatrix B
gegeben.

Für die Betragsberechnung von v kann man sich nun
überlegen:

    $\ |v|\ =\ [mm] \sqrt{x_1^{\,2}+x_2^{\,2}+x_3^{\,2}}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{x^T*x}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{(T*y)^T*(T*y)}$ [/mm]

    $\ =\ [mm] \sqrt{y^T*\underbrace{T^T*T}_G*y}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{y^T*G*y}$ [/mm]  

Die hier mit G bezeichnete Matrix G  mit  G:= [mm] T^T*T [/mm]  ist die
sogenannte []Gramsche Matrix zur Transformationsmatrix T.
Die einzelnen in ihr stehenden Matrixelemente [mm] g_{i\,j} [/mm] sind die
Skalarprodukte der Basisvektoren des Systems B , also:

     $\ [mm] g_{i\,j}\ [/mm] =\ [mm] b_i [/mm] * [mm] b_j [/mm] $  

(das Skalarprodukt  [mm] b_i [/mm] * [mm] b_j [/mm]  natürlich bezüglich eines
orthonormierten Systems wie A berechnet)

In unserem obigen Beispiel ist (gerne nachrechnen !)

    $\ G\ =\ [mm] \pmat{1&1&0\\1&2&1\\0&1&2}$ [/mm]

Damit gestaltet sich jetzt die Berechnung des Betrages des
Vektors v aus seiner Darstellung

    $\ v\ =\ [mm] \left \pmat{2\\1\\-3}\right|_B\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2\\1\\-3}$ [/mm]

so:

     $\ v*v\ =\ [mm] y^T*G*y\ [/mm] =\ [mm] \pmat{2&1&-3}\,*\,\pmat{1&1&0\\1&2&1\\0&1&2}\,*\,\pmat{2\\1\\-3}\ [/mm] =\ 22$

     $\ |v|\ =\ [mm] \sqrt{v*v}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{22}$ [/mm]

Im ursprünglichen System berechnet:

     $\ v\ =\ [mm] \pmat{3\\-3\\-2}_A$ [/mm]

     $\ |v|\ =\ [mm] \sqrt{(3)^2+(-3)^2+(2)^2}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{9+9+4}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{22}$ [/mm]

Hätte man es nun mit zwei nicht orthonormierten Systemen
B und C zu tun, könnte man die dabei erforderlichen
Transformationen (z.B. ihre Gram-Matrix) ermitteln,
indem man die beiden Transformationen von B zu A
und von A zu C  zur gewünschten Transformation
von B zu C zusammensetzt. Alles Notwendige ergibt
sich dann aus den entsprechenden Gleichungen für
Matrizen und Vektoren.

LG ,   Al-Chwarizmi

    








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Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Sa 22.11.2014
Autor: Paivren

Guten Abend zusammen,

ich habe endlich die Ruhe gefunden, mir den langen Beitrag durchzulesen.
Ich denke, ich kann alles soweit nachvollziehen, vielen Dank, Al-Chwarizmi!

Das heißt, die euklidische Norm bezieht sich mit der [mm] \wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...} [/mm] Schreibweise auf eine Orthonormalbasis.
Wenn ich einen Vektor in einer anderen Basis gegeben habe (nicht orthonormiert), so muss ich diesen Vektor beim Bilden des Skalarproduktes unter der Wurzel erst mit der Transformationsmatrix in die orthonormale Basis überführen.

Dann bleibt die euklidische Norm auch erhalten und nicht wie bei meinem Beispiel, wo ich einfach in jeder Basis die Koordinaten-Quadrate aufsummiere und daraus die Wurzel ziehe - was im Allgemeinen ja nicht das selbe Ergebnis liefert.


Jetzt habe ich doch noch ein paar Grundlagen-Fragen.
Das "Standard-Skalarprodukt" meint doch das Skalarprodukt
*: VxV --> [mm] \IR, [/mm]  (v,v) |--> [mm] v^{T}*v=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2} [/mm]
wobei [mm] v_{i} [/mm] die Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis sind.
Soweit richtig?

Und der Betrag, die euklidische Norm, ist die Wurzel aus dem Standardskalarprodukt mit sich selbst, und ist von der Basis unabhängig. Genau so ist das (jedes) Skalarprodukt von der Basis unabhängig.
Aber beim Standardskalarprodukt und bei der euklidischen Norm muss man einen Vektor immer erst in eine Orthonormalbasis transformieren, bevor man so rechnet, oder?


Gruß

Paivren

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Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 So 23.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Guten Abend zusammen,
>  
> ich habe endlich die Ruhe gefunden, mir den langen Beitrag
> durchzulesen.
>  Ich denke, ich kann alles soweit nachvollziehen, vielen
> Dank, Al-Chwarizmi!
>  
> Das heißt, die euklidische Norm bezieht sich mit der
> [mm]\wurzel{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...}[/mm] Schreibweise auf eine
> Orthonormalbasis.
>  Wenn ich einen Vektor in einer anderen Basis gegeben habe
> (nicht orthonormiert), so muss ich diesen Vektor beim
> Bilden des Skalarproduktes unter der Wurzel erst mit der
> Transformationsmatrix in die orthonormale Basis
> überführen.

es geht um die Koordinatendarstellung des Vektors.

> Dann bleibt die euklidische Norm auch erhalten und nicht
> wie bei meinem Beispiel, wo ich einfach in jeder Basis die
> Koordinaten-Quadrate aufsummiere und daraus die Wurzel
> ziehe - was im Allgemeinen ja nicht das selbe Ergebnis
> liefert.

Ja - siehe die Tensoreigenschaft.
  

>
> Jetzt habe ich doch noch ein paar Grundlagen-Fragen.
>  Das "Standard-Skalarprodukt" meint doch das Skalarprodukt
> *: VxV --> [mm]\IR,[/mm]  (v,v) |-->
> [mm]v^{T}*v=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}[/mm]
>  wobei [mm]v_{i}[/mm] die Koordinaten bezüglich einer
> Orthonormalbasis sind.
>  Soweit richtig?

Nein. Das Problem fängt schon damit an, dass ich mich frage, wieso Du [mm] $V\,$ [/mm]
nur als 3-dimensional betrachtest. Und [mm] $v=(v_1,v_2,v_3)$ [/mm] "stimmt" so schonmal
erst gar nicht, selbst wenn [mm] $V\,$ [/mm] ein dreidimensionaler Vektorraum ist. Rechts
steht der zu [mm] $v\,$ [/mm] zugehörige Koordinatenvektor, dessen Einträge, die
Koordinaten, von der Wahl der Basis für [mm] $V\,$ [/mm] abhängen. (Jetzt muss man auch
wissen, "über was" der Vektorraum betrachtet wird, um dann sagen zu
können, dass diese Koordinaten Element von "was" sind. Etwa ist "was"
ein Körper [mm] $K\,.$ [/mm] ...)

Im [mm] $\IR^3$ [/mm] mit der Standardbasis [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist jeder Vektor [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ [/mm]
sein eigener Koordinatenvektor, ich schreibe mal

    [mm] $(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}$ [/mm]

für den Koordinatenvektor, auch, wenn das eher unüblich ist, denn meist
schreibt man Koordinatenvektoren als Spaltenvektoren. Hierbei ist [mm] $\mathcal{E}=(e_1,e_2,e_3)\,,$ [/mm]
also eine geordnete Familie mit [mm] $e_i=(\delta_{i,j})_{j=1,2,3}\,.$ [/mm]
  
Wenn man durch das Gleichheitssymbol den Koordinatenvektor mit dem
Vektor selbst identifizieren will, würde man

    [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ $\,=\,$ $(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}$ [/mm]

schreiben. Ich mache das mal nicht, sondern schreibe erstmal

    [mm] $(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2,x_3)_\mathcal{E}\,.$ [/mm]

(Man darf zwar später auch das Gleichheitszeichen schreiben, aber gerade,
wenn man einen anderen [mm] $3\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet,
ist es dann nicht mehr von vorneherein so klar, dass dieser isomorph zum
[mm] $\IR^3$ [/mm] ist.)

Denn das mache ich aus folgendem Grund: Der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist quasi so definiert,
dass deren Vektoren schon bzgl. ihrer Darstellung mit ihren Koordinatenvektoren
übereinstimmen.

Wir betrachten nun mal

    [mm] $\mathcal{B}:=(e_1,e_2,e_2+e_3)\,.$ [/mm]

Wenn ich mir nun den Vektor [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] bzgl. der Koordinaten von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ausgeben
lassen will, so ist der zugehörige Koordinatenvektor rechts vom [mm] $\sim$ [/mm] zu sehen:

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2-x_3,x_3)_{\!\mathcal{B}}\,.$ [/mm]  

Denn die Familie [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist linear unabhängig und in der Tat gilt

    [mm] $x_1*e_1+(x_2-x_3)*e_2+x_3*(e_2+e_3)=x_1*e_1+x_2*e_2-x_3*e_2+x_3*e_2+x_3*e_3=x_1*e_1+x_2*e_2+x_3*e_3=(x_1,x_2,x_3)\,,$ [/mm]

insbesondere neben

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}$ [/mm]

also

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2-x_3,x_3)_{\!\mathcal{B}}\,.$ [/mm]

Du siehst also: Die Koordinatendarstellung eines Vektors hängt von der
Wahl der Basis ab, und die Basis sollte auch geordnet sein. Wenn wir jetzt
mal einen Vektor mit seinem Koordinatenvektor bzgl. einer Basis
gleichsetzen und

    [mm] $\mathcal{E}':=(e_2,e_1,e_3)$ [/mm]

haben, dann gilt für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3 \cong \IR^{1 \times 3}$ [/mm]

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}=(x_1,x_2-x_3,x_3)_{\!\mathcal{B}}=(x_2,x_1,x_3)_{\!\mathcal{E}'}\,.$ [/mm]

> Und der Betrag, die euklidische Norm, ist die Wurzel aus
> dem Standardskalarprodukt mit sich selbst, und ist von der
> Basis unabhängig.

Das Ding nennt man "die vom Skalarprodukt induzierte Norm".

> Genau so ist das (jedes) Skalarprodukt von der Basis unabhängig.
>  Aber beim Standardskalarprodukt und bei der euklidischen
> Norm muss man einen Vektor immer erst in eine
> Orthonormalbasis transformieren, bevor man so rechnet,
> oder?

Da weiß ich nun nicht genau, was Deine eigentliche Frage ist. Ein Skalarprodukt
hat gewisse Axiome zu erfüllen. Kannst Du mal präzisieren, was Du genau
damit meinst, dass das Skalarprodukt unabhängig von der Basis sei? Meist
klären sich solche Fragen, wenn man versucht, präzise aufzuschreiben, was
man eigentlich damit sagen will...

Und ansonsten: Dass die "Standardnorm" (Wurzel der Summe der
Koordinatenquadrate) die Norm (etwa im [mm] $\IR^3$) [/mm] nicht verändert, wenn man den
Vektor, der ja bzgl. [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] sein eigener Koordinatenvektor ist, durch einen anderen
Koordinatenvektor, der aber auch bzgl. einer ONB gebildet wurde, ersetzt,
das wurde nun mehrmals gesagt. Und ich habe Als Beitrag noch nicht durch-
gelesen, aber denke und hoffe auch, dass es aus seinen Gedanken da
hervorgeht.

Also Kurzfazit: Ein [mm] $\IR^3$-Vektor [/mm] ist erstmal ein 3-Tupel mit 3 Einträgen, die
jeweils eine reelle Zahl sind:

    $x [mm] \in \IR^3$ $\iff$ $\exists$ $x_1,x_2,x_3\in \IR$ [/mm] mit [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)\,.$ [/mm]

Bzgl. einer Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] hat dieses [mm] $x\,$ [/mm] einen Koordinatenvektor, bzgl.
der Standardbasis [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ist er sein eigener Koordinatenvektor

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}\,.$ [/mm]

Bzgl. einer anderen Basis hat er aber eine andere Darstellung, bspw. hatten
wir gesehen

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2-x_3,x_3)_{\!\mathcal{B}}\,,$ [/mm]

oder anders geschrieben

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2-x_3,x_3)_{\!\mathcal{B}}\,.$ [/mm]

In letztstehender Notation ist die Gefahr einfach geringer, auf Ideen wie

    [mm] $x_2=x_2-x_3\,$ [/mm]

zu kommen.....

P.S. Ich empfehle eigentlich immer, mal in "Bosch, Lineare Algebra" in die
entsprechenden Kapitel über Koordinatendarstellungen, Koordinaten-
Transformationen und Basisübergangsmatrizen/Basiswechselmatrizen
reinzugucken. Denn dort steht das, wie ich finde, sehr ausführlich und
gut beschrieben. Ist aber nur meine bescheidene Ansicht...

Gruß,
  Marcel

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Komponentenschreibweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 So 23.11.2014
Autor: Paivren

N'abend.

> Das Ding nennt man "die vom Skalarprodukt induzierte Norm".

Sagt mir auch was, und was ist dann die "euklidische Norm"?
Das ist die im [mm] \IR^{n} [/mm] vom Standardskalarprodukt induzierte, oder?

> > Genau so ist das (jedes) Skalarprodukt von der Basis
> unabhängig.
>  >  Aber beim Standardskalarprodukt und bei der
> euklidischen
> > Norm muss man einen Vektor immer erst in eine
> > Orthonormalbasis transformieren, bevor man so rechnet,
> > oder?
>  
> Da weiß ich nun nicht genau, was Deine eigentliche Frage
> ist. Ein Skalarprodukt
>  hat gewisse Axiome zu erfüllen. Kannst Du mal
> präzisieren, was Du genau
>  damit meinst, dass das Skalarprodukt unabhängig von der
> Basis sei? Meist
>  klären sich solche Fragen, wenn man versucht, präzise
> aufzuschreiben, was
>  man eigentlich damit sagen will...

Wenn ich zum Beispiel zwei Vektoren v,w [mm] \in \IR^{3} [/mm] in einer Koordinatendarstellung zu einer nicht orthonormierten Basis habe [mm] (v\sim(v_{1},v_{2},v_{3}), [/mm] w analog), und ich will von den beiden das Standardskalarprodukt v*w berechnen.
Dann muss ich doch auch hier die Koordinatendarstellungen erst in eine Darstellung zu einer orthonormierten Basis transformieren, damit ich das Skalarprodukt ausrechnen kann.
Einfach [mm] v_{1}*w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}*w_{3} [/mm] wäre doch falsch, oder nicht?


> Gruß,
>    Marcel


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Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Mo 24.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> N'abend.
>  
> > Das Ding nennt man "die vom Skalarprodukt induzierte Norm".
>
> Sagt mir auch was, und was ist dann die "euklidische
> Norm"?
>  Das ist die im [mm]\IR^{n}[/mm] vom Standardskalarprodukt
> induzierte, oder?

dann hast Du einen []euklidischen Vektorraum.
Die meisten reden aber von "dem" euklidischen Raum, wenn sie den
*Anschauungsraum* meinen. Jedenfalls, wenn wir uns nicht zwingend in
der Mathematik bewegen.
  

> > > Genau so ist das (jedes) Skalarprodukt von der Basis
> > unabhängig.
>  >  >  Aber beim Standardskalarprodukt und bei der
> > euklidischen
> > > Norm muss man einen Vektor immer erst in eine
> > > Orthonormalbasis transformieren, bevor man so rechnet,
> > > oder?
>  >  
> > Da weiß ich nun nicht genau, was Deine eigentliche Frage
> > ist. Ein Skalarprodukt
>  >  hat gewisse Axiome zu erfüllen. Kannst Du mal
> > präzisieren, was Du genau
>  >  damit meinst, dass das Skalarprodukt unabhängig von
> der
> > Basis sei? Meist
>  >  klären sich solche Fragen, wenn man versucht, präzise
> > aufzuschreiben, was
>  >  man eigentlich damit sagen will...
>  
> Wenn ich zum Beispiel zwei Vektoren v,w [mm]\in \IR^{3}[/mm] in
> einer Koordinatendarstellung zu einer nicht orthonormierten
> Basis habe [mm](v\sim(v_{1},v_{2},v_{3}),[/mm] w analog), und ich
> will von den beiden das Standardskalarprodukt v*w
> berechnen.
>  Dann muss ich doch auch hier die Koordinatendarstellungen
> erst in eine Darstellung zu einer orthonormierten Basis
> transformieren, damit ich das Skalarprodukt ausrechnen
> kann.
>  Einfach [mm]v_{1}*w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}*w_{3}[/mm] wäre doch
> falsch, oder nicht?

Du kennst doch den Begriff "Wohldefiniertheit", oder? Wenn Du ein
Skalarprodukt über *irgendeine* Koordinatendarstellung definieren
wollen würdest, bräuchtest Du die Unabhängigkeit von der Wahl der
Basis (für die Koordinatendarstellung).

Im *Anschauungsraum* kann man erstmal das Skalarprodukt definieren,
indem man es über die Koordinatendarstellung der Vektoren bzgl. der
*Standardbasis* definiert. Hier braucht man keine Basisunabhängigkeit,
wenn man zeigen kann, dass das so definierte Ding die Eigenschaften
erfüllt, die *axiomatisch von einem Skalarprodukt verlangt werden*.

Ich sage dann also mit unseren bisherigen Bezeichnungen etwa:
Für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ $\sim$ $(x_1,x_2,x_3)_{\!\mathcal{E}}$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3)$ $\sim$ $(y_1,y_2,y_3)_{\!\mathcal{E}}$ [/mm] beides Elemente des [mm] $\IR^3$ [/mm] sei

    [mm] $=\sum_{k=1}^3x_ky_k\,.$ [/mm]

Diese Definition "lebt" davon, dass wir von den Vektoren deren
Koordinaten bzgl. der Basis [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] auffassen. (Wichtig ist natürlich
auch, dass diese Koordinaten für jedes [mm] $x\,$ [/mm] existieren und eindeutig bestimmt
sind!) "Zufällig" sind das auch genau die Einträge der 3-Tupel bzw.
Vektoren [mm] $x,y\in \IR^3\,.$ [/mm]
(Kein Wunder also, dass niemand bei dieser Definition die Vektoren erstmal
in ihre Koordinatenvektorgestalt bzgl. [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] hinschreibt, denn die steht
ja schon da!)

Wenn Du nun aber sagst: Sei [mm] $\mathcal{E}'=(e_1',e_2',e_3')$ [/mm] irgendeine orthonormierte
Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] und wir definieren für [mm] $x=(x_1,x_2,x_3),y=(y_1,y_2,y_3) \in \IR^3$ [/mm]

    [mm] $:=\sum_{k=1}^3 x_k'y_k'\,,$ [/mm]

wobei

    $x [mm] \sim (x_1',x_2',x_3')_{\!\mathcal{E}'}$ [/mm] und $y [mm] \sim (y_1',y_2',y_3')_{\!\mathcal{E}'}\,,$ [/mm]

dann müsstest Du erstmal zeigen, dass für jede orthonormierte Basis
[mm] $\mathcal{E}'$ [/mm] auch "das Gleiche" herauskommt.

Genauer: Sind [mm] $\mathcal{E}'$ [/mm] und [mm] $\mathcal{E}''$ [/mm] orthonormierte Basen des [mm] $\IR^3$ [/mm] und gilt

    [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) \sim (x_1',x_2',x_3')_{\mathcal{E}'}$ [/mm] und [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) \sim (x_1'',x_2'',x_3'')_{\mathcal{E}''}$ [/mm]

sowie

    [mm] $y=(y_1,y_2,y_3) \sim (y_1',y_2',y_3')_{\mathcal{E}'}$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2,y_3) \sim (y_1'',y_2'',y_3'')_{\mathcal{E}''}\,,$ [/mm]

so muss

    [mm] $\sum_{k=1}^3 x_k'y_k'=\sum_{k=1}^3 x_k''y_k''$ [/mm]

gelten.

Weil wir aber eh [mm] $\mathcal{E}''=\mathcal{E}$ [/mm] (*Standardbasis* des [mm] $\IR^3$) [/mm] wählen können,
reduziert sich dann die Aussage darauf, zu zeigen:
Ist [mm] $\mathcal{E}'$ [/mm] *irgendeine* (weitere) orthonormierte Basis des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] so gilt

    [mm] $\sum_{k=1}^3 x_ky_k=\sum_{k=1}^3 x_k'y_k'\,.$ [/mm]

Es kommt halt auch ein wenig drauf an, was Dir lieber ist, sofern sich denn
die Aussage beweisen läßt:
Entweder du definierst das *übliche* Skalarprodukt, etwa des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] einfach
bzgl. der Komponenten der Tupel bzw. bzgl. der Koordinatendarstellung der
"Standardbasis". Dann musst Du rein theoretisch auch erst immer mal diese
Koordinatendarstellung berechnen, wenn sie nicht direkt vorliegt, bevor Du
damit arbeiten kannst. (Es kann ja sein, dass Du die Koordinatendarstellung
von Vektoren $x,y [mm] \in \IR^3$ [/mm] bzgl. einer anderen Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] hast - auch damit
*kennst* Du dann [mm] $x,y\,.$ [/mm] Rein theoretisch könntest Du sogar die Koordinaten
von [mm] $x\,$ [/mm] bzgl. einer anderen Basis wie die Koordinaten von [mm] $y\,$ [/mm] haben...)

Oder Du definierst es allgemeiner, dann musst Du aber obiges erst mal
beweisen: Nämlich, dass das, was Du definierst, auch *sinnvoll* ist. In
dem Sinne: "Für jede orthonormierte Basis kommt da auch immer der
gleiche Ausdruck raus."

Wenn Du das mit der *Standardbasis*, die ja auch orthonormiert ist, machst:
Diese Definition ist dann sehr speziell, hat aber den Vorteil, dass man
direkt schnell nachprüfen kann, dass das, was man da definiert hat, auch
die Axiome erfüllt, die ein Skalarprodukt erfüllen soll. Und dahingehend
kann man dann schnell damit arbeiten, und wird dann sicher den Satz,
dass man auch *"genauso" mit einer anderen, orthonormierten Basis
rechnen kann*, irgendwann beweisen. (Das kann man hier sicher auch
noch mit "geometrischer Deutung" des Skalarprodukts zweier Vektoren.)

Wenn man den anderen Weg geht, muss man quasi den letzten Satz schon
während bzw. *für* die Definition beweisen. Und erst, wenn man das
hat, macht es Sinn, sich damit zu beschäftigen, ob das, was man sich da
definiert hat, auch den Namen *Skalarprodukt* tragen darf!

Würde ich sagen: Ich definiere für jeden positiven Bruch [mm] $b\,$ [/mm] in der Darstellung
$b=p/q$ mit $p,q [mm] \in \IN$ [/mm] nun

    [mm] $S=S(b):=p+q\,,$ [/mm]

so ist das nichts wohldefiniertes. Warum? Wir identifizieren [mm] $b=2/1=4/2\,,$ [/mm] was
wäre also nun $S(2)$?

    $S(2)=S(2/1)=2+1=3$ oder $S(2)=S(4/2)=4+2=6$?

Wenn ich nun aber sage, dass $b=p/q$ mit $p,q [mm] \in \IN$ [/mm] in dieser Darstellung auch
vollständig gekürzt sein muss, dann wird

    [mm] $S(2)=S(4/2)=2+1\,$ [/mm]

sein - denn [mm] $4/2=2/1\,$ [/mm] ist rechterhand vollständig gekürzt.

Und was nun oben genau mit "Unabhängigkeit der Wahl einer orthonormierten
Basis" gemeint war, die man bei dem zweiten Weg bräuchte, wenn man
"dieses" Skalarprodukt auf diesem Wege definieren wollte, steht oben ja
ganz genau ausgeführt.

Und gerade für Dich als Physiker ist das aber doch sicher wichtig: In der
"Realität" gibt es ja erstmal kein [mm] $\IR^3$-Koordinatensystem. [/mm] Für Deine physikalischen
Beschreibungen legst Du aber sicher eines modellhaft in die Realität. Und
wenn Du nun irgendwas mithilfe des Skalarpodukts nachrechnen willst,
z.B. dass eine Kraft senkrecht zu zwei anderen steht oder sowas, wäre es
schon schlecht, wenn eine Verdrehung des Koordinatensystems im Raum
dazu führen würde, dass Skalarprodukte vor der Verdrehung Null gewesen
wären (Senkrechteigenschaft ist vorhanden) und nach der Verdrehung aber
plötzlich nicht mehr Null sind: Das würde bedeuten, dass die Eigenschaft,
dass ein Vektor senkrecht auf einen anderen steht oder nicht, von der
Wahl des *Betrachtungswinkels* abhängen würde (wir ändern ja nicht
viel an dem Koordinatensystem - eventuell drehen wir auch noch die ein
oder andere Koordinatenachse um 180 Grad, aber das "Raster" bleibt ja
das Gleiche). Das willst Du sicher nicht (feststellen müssen).

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Komponentenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Mo 17.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> > Genaue Quelle ?
>  
> http://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Reelles_Standardskalarprodukt
>  
> Wobei es da um reelle Vektoren geht. Aber auch da
> multiplizieren sie einfach nur die Koordinaten, also die
>  Einträge in [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}.[/mm]
>  Geht man
> bei dieser Schreibweise immer von einer Orthonormalbasis
> aus, oder warum können die das da so einfach sagen?

Nun, das ist zunächst einfach mal eine Definition. Man
geht eben in der Theorie oft so vor, dass man gar nicht
erst versucht, eine "reale" Geometrie abzubilden, sondern
man definiert zuerst den abstrakten Vektorraum [mm] \IR^n [/mm]
rein algebraisch und macht dann daraus erst einen Raum
im geometrischen Sinne, indem man eine Metrik ein-
führt. Und exakt durch die Definition, dass der Betrag
eines Vektors durch die Quadratwurzel aus seinem (zunächst
ebenfalls rein abstrakt, zahlenmäßig definierten)
Standardskalarprodukt mit sich selber definiert sei,
führt man diese Metrik und damit in der Folge die
euklidische Geometrie im [mm] \IR^n [/mm]  ein.


> Wie ist es, wenn die [mm]a_{i}[/mm] orthogonal sind?
>  Dann müssten die [mm]b_{i}[/mm] ja auch orthogonal sein.
>  Aber normiert sind die nicht, denn die [mm]a_{i}[/mm] haben als
> Länge die Gitterkonstante in die jeweilige Richtung...

Auf den konkreten Fall mit den Koordinatensystemen
bei Kristallgittern bin ich nicht im Einzelnen eingegangen.


> > Ich möchte aber das für uns hier Wesentliche in
>  >  kürzerer Form darstellen. Auch dafür benötige ich
>  >  noch etwas Zeit.

So , Mitternacht :  Letzteres habe ich jetzt geschafft.
Siehe meine andere Antwort !

LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                                                                
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Komponentenschreibweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 So 16.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> danke für die ausführlichen Antworten, nur verwirren die
> mich leider auch ein wenig.
>  
> Bei Wikipedia steht, dass das Standardskalarprodukt IMMER
> gebildet werden kann, indem man den Pythagoras auf die
> Vektorkomponenten anwedet.
>  Bei nicht orthonormalen Basen ist das allerdings NICHT das
> gleiche, wie den Pythagoras auf die Koordinaten anzuwenden
> (denn die hängen von der Basiswahl ab).
>  
> Nochmal zu meinem konkreten Problem:
>  
> Ich habe ein Raumgitter, sagen wir Vektorraum V.
>  Dort benutze ich die Basis [mm]a_{i},[/mm] i=1,2,3
> (nicht zwangsweise orthonormal)
>  
> Dann habe ich das reziproke Gitter W mit der Basis
> [mm]b_{i}=K*(a_{j}[/mm] x [mm]a_{k}),[/mm] mit K=const, i,j,k zyklisch
> vertauschbar.
>  
> Mathematisch ist das wohl eine Abbildung
> f: V-->W.
>  
> Ich möchte jetzt den Betrag eines Vektors in W haben.
>  Der Betrag ist unabhängig von der gewählten Basis.
>  
> Sei w= [mm]hb_{1}+kb_{2}+lb_{3}[/mm]  mit [mm]h,k,l\in \IQ.[/mm]
>  Wären die
> [mm]b_{i}[/mm] orthonormal, so wäre
>  [mm]|w|=\wurzel{h^{2}+k^{2}+l^{2}}[/mm]
>  
> Stattdessen muss ich nun die Komponenten betrachten.
>  Diese sind [mm]hb_{1}, kb_{2}, lb_{3},[/mm] richtig?
>  --> |w|= [mm]\wurzel{(hb_{1})^{2}+(kb_{2})^{2}+(lb_{3})^{2}}[/mm]

>  
> Wenn ich für die [mm]b_{i}[/mm] jetzt die Kreuzprodukte einsetze,
> dann kann ich die aber doch gar nicht berechnen, ohne den
> Winkel zwischen den Vektoren [mm]a_{i}[/mm] zu kennen... und die
> Kreuzproduktformel für zwei Vektoren im [mm]\IR^{3}[/mm] kann ich
> nur anwenden, wenn ich die Koordinatendarstellung von den
> [mm]a_{i}[/mm] benutze, die aber wiederum von der Basis abhängt...
> wobei die [mm]a_{i}[/mm] ja selber Basisvektoren sind.
>  
> Oh mann, siehst du meine Verwirrung?^^

ich sehe Deine Verwirrung, und ich denke nach wie vor, dass vieles daher
rührt, dass Du Komponenten und Koordinaten gleichsetzt.

Aber auch, wenn ich mich dahingehend vielleicht irre: Vielleicht warten wir
einfach mal ab, was Al sich da am Erarbeiten ist. Er hat Dein Problem ja
auch geometrisch verstanden, und von daher wird sein Lösungsvorschlag
sicher neben algebraischen auch geometrische Aspekte haben.
Und das kann sehr aufklärend werden.

Daher würde ich nun empfehlen: Geben wir Al noch ein wenig Zeit und
warten seine Lösungsidee(n) ab. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Komponentenschreibweise: Vorsicht bei Basisvektoren!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 So 16.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Chrisno,

> [mm]\vec{G}[/mm] ist eine physikalische Größe. Diese ist
> unabhängig davon, wie sie dargestellt wird. Egal welche
> Basisvektoren du wählst, kommt der gleiche Betrag in 1/m
> heraus.
>  Natürlich benötigst Du orthogonale Basisvektoren um den
> Betrag mit der Wurzel aus der Summe der Quadrate zu
> berechnen.

Pythagoras! (Und hier geht es wirklich um die Wurzel der Summe der
Quadrate der Koordinaten - wir haben dann in der Tat eine Basissystem-
Unabhängigkeit, sofern denn die Basis normiert und orthogonal ist!)

> Probier das doch einfach mal aus. Basisvektoren,
> dargestellt im kartesischen Kordinatensystem [mm]\vektor{1\\0}[/mm]
> und [mm]\vektor{\br{1}{\wurzel{2}}\\\br{1}{\wurzel{2}}}[/mm].

[mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{\br{1}{\wurzel{2}}\\\br{1}{\wurzel{2}}}$ [/mm] sind nicht orthogonal!

Gruß,
  Marcel

> Nun stell mal mit dieser Basis [mm]\vektor{0\\1}[/mm] dar.


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