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In einer Aufgabe die eine Freundin für ihren Nachhilfeschüler bearbeitet kommt in der Lösung ein recht seltsames Wort vor:
Komponentensummensatz
Es hat was mit Matrizen zu tun, und falls nötig verlink ich die Aufabe(ist leider ein Bild, daher kann ichs nicht in die Aufgabenbox packen)
Die Lösung lautet:
"Die Aufforstung der K-Bäume soll den Abnahmefaktor 0.95 wiederherstellen. Nach dem Komponentensummensatz muss die erste Zeile der Produktmatrix f·A (aus der sich die neue K-Komponente ergibt) so abgeändert werden, dass sich wieder eine skalierte Markov Matrix mit der Spaltensumme 0.95 für alle drei Spalten ergibt. Die abgeänderte Matrix sieht daher so aus:"
Falls ihr das Wort bei google eingibt kommt auch nur dieses Lösungsblatt als hit, daher weiß ich nicht ob das überhaupt ein Fachwort ist.
Hat jemand eine Ahnung was das ist oder eine gute Quelle dazu?
Vielen Dank im Vorraus :)
Edit: ups, ganz unten steht das,
"Satz 3 (Komponentensummensatz): Wendet man eine skalierte Markov Matrix A mit der Spaltensumme s auf einen Zustandsvektor v mit der Komponentensumme
σ = v1+v2+...+vn an, dann hat der Zustandsvektor
v'=A·v die Komponentensumme s·σ.
Beweis: Die Komponentensumme von v' ist:
[1,1,...,1]·v'=[1,1,...,1]·A·v
=([1,1,...,1]·A)·v
=[s,s,...,s]·v
=s[1,1,...,1]·v
=s·σ"
macht das denn überhaupt sinn? Oder ist das in Vereinfachter Form nichts anderes als a-b=a-b?
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Doch, das gibt folgenden Sinn:
Bei der Markov-Matrix A haben alle Spaltensummen den Wert s, und das ist eine Besonderheit bei Matrizen (nicht für stochastische).
Die Komponentensumme ist die Summe aller Zahlen in v, und man kann sie statt mit einer Summenschreibweise auch erhalten, indem man v mit [1,1,1,...,1] von links multipliziert.
Multipliziert man v nun von links mit A und erhält so
v'=A*v, so purzeln normalerweise die Zahlen von v nach v' auf völlig "unsystematische" Weise durcheinander, und das tun sie auch hier. Der Beweis zeigt aber, dass v' genau die selbe Spaltensumme wie v hat, nur mit einem Faktor s multipliziert, und zwar unabhängig davon, wie v aussieht.
Beispiel:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{3 \\ 5}=\vektor{13 \\ 29} [/mm] Summe von 8 auf 42
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{8 \\ 5}=\vektor{18 \\ 44}
[/mm]
Summe von 13 auf 62, also mit einem völlig anderen Faktor.
Aber
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{3 \\ 5}=\vektor{19 \\ 29} [/mm] Summe von 8 auf 48
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{8 \\ 5}=\vektor{34 \\ 44}
[/mm]
Summe von 13 auf 78, also jedesmal mit Faktor 6.
Das funktioniert, weil jetzt A immer die Spaltensumme 6 hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:34 Do 04.02.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Danke sehr, das hat bei mir geklickt, und kann's jetz ihr auch erklären :)
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