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Konfidenzintervalle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 So 15.10.2017
Autor: Valkyrion

Aufgabe
Vor der Bürgermeisterwahl werden 500 Bürger befragt, ob sie Kandidat A wählen wollen. 275 Wahlberechtigte bejahen diese Frage. Verwenden Sie das Vertrauensniveau 95%.
a) Kann der Kandidat A mit der Mehrheit der Stimmen rechnen?

Das ist eine Beispielaufgabe aus einem Lehrbuch. Dort wird diese Frage mit dem Konfidenzintervall von (254; 296) und der Aussage, dass er mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit mit einer Mehrheit rechnen kann.

Lässt diese Antwort nicht die Fälle von 251, 252, 253 Stimmen sowie die mehr als 296 Stimmen außen vor?
Ich hätte hier einfach die Wahrscheinlichkeit P(X>250) bestimmt. Wieso wäre das falsch?

        
Bezug
Konfidenzintervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 So 15.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Vor der Bürgermeisterwahl werden 500 Bürger befragt, ob
> sie Kandidat A wählen wollen. 275 Wahlberechtigte bejahen
> diese Frage. Verwenden Sie das Vertrauensniveau 95%.
> a) Kann der Kandidat A mit der Mehrheit der Stimmen
> rechnen?
> Das ist eine Beispielaufgabe aus einem Lehrbuch. Dort wird
> diese Frage mit dem Konfidenzintervall von (254; 296) und
> der Aussage, dass er mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit mit
> einer Mehrheit rechnen kann.

>

> Lässt diese Antwort nicht die Fälle von 251, 252, 253
> Stimmen sowie die mehr als 296 Stimmen außen vor?
> Ich hätte hier einfach die Wahrscheinlichkeit P(X>250)
> bestimmt. Wieso wäre das falsch?

Das Befragen von Wählern vor einer Wahl ist ein Zufallsexperiment. Wenn wir einmal voraussetzen, dass jeder Wähler schon weiß, wen er wählen wird und außerdem auf die Befragung ehrlich antwortet: selbst dann müsste man alle Wähler befragen, um das exakte Wahlergebnis vorhesagen zu können. Es wäre ja auch denkbar, dass man zufällig an einen Haufen Fans von Kandidat A geraten ist und dass in Wirklichkeit eine deutliche Mehrheit für Kandidat B ist.

Hierzu noch ein Beispiel: in meiner Heimatstadt (es tut nichts zur Sache, welche das ist), war die SPD traditionell noch nie sehr stark. Wenn sie bspw. bei Gemeinderatswahlen auf 30% kam, wurde das schon als Erfolg gewertet. Trotzdem gab es früher (ich spreche von den 70er-90er-Jahren) Stadtteile mit viel Industrie und großen Arbeitersiedlungen, wo die SPD bei Wahlen teilweise auf über 80% kam.

Deswegen ist es bspw. für die Erstellung von Wahlprognosen wichtig, dass man bei der Auswahl der befragten Wähler versucht, einen möglichst repräsentativen Querschnitt durch die Gesellschaft zu erhalten.

Zurück zu deiner Frage: Jede Abweichung des tatsächlichen Wahlergebnisses von der Umfrage wird mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eintreten. Daher kann man sich die Frage stellen, wie groß hier P(X>250) ist. Man könnte sich aber auch fragen, welches die kleinstmögliche Stimmenzahl s für Kandidat A ist, so dass [mm] P(X\ge{s})\ge{0.95} [/mm] gilt. Das wäre ein sogenannter linksseitiger Test auf einem Konfidenzniveau von 95%. Das Konfidenzintervall würde dabei von s bis 500 reichen. Wenn diese Stimmenzahl s nun größer als 250 wäre, dann würde man die sog. 0-Hypothese (die Annahme, dass Kandidat A die Mehrheit bekommt wie von der Umfrage prognostiziert oder genauer: die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Wähler Kandidat A wählt, größer als 0.5 ist) annehmen. Wenn s=250 oder kleiner wäre, würde man sie dagegen verwerfen.

In deinem Beispiel wurde ein sog. beidseitiger Test vorgenommen. Dabei fragt man nach einem Intervall (von Stimmenzahlen), bei dem Unter- und Obergrenze (möglichst) gleich weit vom Erwartungswert entfernt liegen. Und zwar auch hier wieder nach dem kleinstmöglichen Intervall von [mm] s_1 [/mm] bis [mm] s_2, [/mm] so dass

[mm] P(s_1\le{X}\le{s_2})\ge{0.95} [/mm]

gilt.

Meiner Ansicht nach ist ein zweiseitiger Test für die Ausgangsfrage hier gar nicht sinnvoll, und vielleicht resultieren deine Verständnisschwierigkeiten auch in dieser Tatsache: wenn Kandidat A die Mehrheit der Stimmen erzielt und damit gewählt würde, dann wäre es zumindest nachrangig, ob er ggf. auch mehr als 296/500 der Stimmen erhalten hat oder aber auch einfach genau 1 Stimme mehr als die Hälfte der Stimmen.


Gruß, Diophant

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