Kongruenzsätze Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Do 12.12.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zur Konstruierbarkeit von Dreiecken:
Wenn ich von einem Dreieck alle 3 Seiten kenne, passt aufgrund der bekannten Größen der Kongruenzsatz sss.
Allerdings sagt mir dies ja noch nicht, dass das Dreieck dann tatsächlich konstruierbar ist (z.B: a = 3 cm, b = 2 cm und c = 8 cm).
Allerdings stellt sich mir nun die Frage, ob ich die Konstruierbarkeit bei den anderen Kongruenzsätzen (wsw, sws und Ssw) automatisch folgern kann.
Wenn ich also von einem Dreieck 3 Größen kenne, die zu einem der Kongruenzsätze wsw, sws oder Ssw passt, kann ich dann automatisch folgern, dass das Dreieck konstruierbar (und folglich auch eindeutig konstruierbar) ist ?
Falls nicht, wäre ich dankbar für ein Gegenbeispiel, bei dem dies für die Kongruenzsätze wsw, sws oder Ssw nicht funktioniert.
Ich habe diese Frage in einem anderen Forum gestellt.
Danke für eure Antworten
Rubi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 13.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn es dazu kein Dreieck gibt, kann man es auch nicht konstruieren. Bei sss muss die Summe 2 er Seiten größer als die dritte sein, bei wsw muss w+w<180° sein.
und ssw gibt es iA 2 Dreiecke
Gruß leduart
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> bei ssw gibt es iA 2 Dreiecke
Hallo leduart,
"iA" würde bedeuten "im Allgemeinen" , also in der
Regel ja und nur in Ausnahmefällen nein.
Im vorliegenden Fall ist dies aber wohl keine
passende Ausdrucksweise, denn eine Dreiecks-
Aufgabe der Form "SSW" kann je nach den
gegebenen (positiven) Werten für die zwei
Seiten und den Winkel [mm] (0
gar keine Lösung haben. Dabei ist nur der Fall
von genau einer Lösung eine Art "Spezialfall",
bei dem bei zwei gegebenen Seitenlängen nur
ein bestimmter Winkel exakt passt.
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Fr 13.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo zusammen,
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> ich habe eine Frage zur Konstruierbarkeit von Dreiecken:
>
> Wenn ich von einem Dreieck alle 3 Seiten kenne, passt
> aufgrund der bekannten Größen der Kongruenzsatz sss.
> Allerdings sagt mir dies ja noch nicht, dass das Dreieck
> dann tatsächlich konstruierbar ist (z.B: a = 3 cm, b = 2
> cm und c = 8 cm).
Hast du drei Seiten gegeben, ist das Dreieck nur dann konstruierbar, wenn die Summe der beiden kurzen Seiten größer ist, als die längste Seite.
Wenn du nämlich die längste Seite zuerst zeichnest, schneiden sich die beiden "Konstruktionskreise" für die anderen beiden Seiten sonst nicht.
>
> Allerdings stellt sich mir nun die Frage, ob ich die
> Konstruierbarkeit bei den anderen Kongruenzsätzen (wsw,
> sws und Ssw) automatisch folgern kann.
Hast du zwei Winkel gegeben (Kongurenzsatzt WSW), muss die Summe kleiner als 180° sein, damit die Innenwinkelsumme nicht verletzt wird.
Beim Kongruenzsatz SWS habe ich kein Problem, das meines Wissens nach immer konstruierbar.
Beim Komgruenzsatz SsW muss S>s gelten, damit du ein eindeutiges Dreieck konstruieren kannst. Der gegebene Winkel muss also der längeren gegebenen Seite gegenüberliegen.
>
> Wenn ich also von einem Dreieck 3 Größen kenne, die zu
> einem der Kongruenzsätze wsw, sws oder Ssw passt, kann ich
> dann automatisch folgern, dass das Dreieck konstruierbar
> (und folglich auch eindeutig konstruierbar) ist ?
Nein, du musst schon noch die Bedingungen prüfen. Du wirst es aber auch bei der Konstruktion merken, es kommt zu einem "Problem", da sich Objekte, die sich schneiden müssten, eben nicht schneiden.
>
> Falls nicht, wäre ich dankbar für ein Gegenbeispiel, bei
> dem dies für die Kongruenzsätze wsw, sws oder Ssw nicht
> funktioniert.
Für SSS: a=5, b=7 c=21
Für WSW: [mm] \alpha=140, \beta=41 [/mm] die Seitenlänge ist dann schon irrelevant
Für SsW: a=2, c=10 und [mm] \alpha [/mm] gegeben.
>
> Ich habe diese Frage in einem anderen Forum gestellt.
>
> Danke für eure Antworten
> Rubi
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 13.12.2013 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich glaube, ich habe meine Frage etwas missverständlich gestellt.
Mir ist schon klar, wie ich bei sss sehe, ob das Dreieck konstruierbar ist.
Und dass bei Vorgabe von 2 Winkeln die Summe kleiner als 180° sein muss, ist trivial.
Und dass bei Ssw der Winkel gegenüber der größeren Seite vorgegeben sein muss ist auch klar, sonst wäre es ja nicht Ssw, sondern ssw (was es ja nicht gibt)
Ich versuche meine Frage nochmals zu präzisieren:
Bei sss kann ich wie schon geschrieben nicht folgern, dass das Dreieck konstruierbar ist (sondern muss zusätzlich die Dreiecksungleichung prüfen).
Kann ich jedoch bei Vorgaben der Art Ssw (also Winkel gegenüber der größeren Seite ist gegeben), sws und wsw (wenn Winkelsumme der beiden Winkel kleiner als 180°) sofort schließen, dass das Dreieck konstruierbar ist ?
Viele Grüße
Rubi
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> Hallo zusammen,
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> ich glaube, ich habe meine Frage etwas missverständlich
> gestellt.
>
> Mir ist schon klar, wie ich bei sss sehe, ob das Dreieck
> konstruierbar ist.
> Und dass bei Vorgabe von 2 Winkeln die Summe kleiner als
> 180° sein muss, ist trivial.
> Und dass bei Ssw der Winkel gegenüber der größeren
> Seite vorgegeben sein muss ist auch klar, sonst wäre es ja
> nicht Ssw, sondern ssw (was es ja nicht gibt) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was meinst du mit "was es nicht gibt" ?
Damit könnte doch vielleicht gemeint sein, dass
zwei (eventuell gleich lange) Seiten und ein Winkel
(nicht der Zwischenwinkel der gegebenen Seiten)
gegeben sind ...
> Ich versuche meine Frage nochmals zu präzisieren:
> Bei sss kann ich wie schon geschrieben nicht folgern, dass
> das Dreieck konstruierbar ist (sondern muss zusätzlich die
> Dreiecksungleichung prüfen).
>
> Kann ich jedoch bei Vorgaben der Art Ssw (also Winkel
> gegenüber der größeren Seite ist gegeben), sws und wsw
> (wenn Winkelsumme der beiden Winkel kleiner als 180°)
> sofort schließen, dass das Dreieck konstruierbar ist ?
Um dies zu prüfen, könnte ich mir jetzt zwei einfache
Skizzen machen und mir daran klar machen, was zutrifft.
Vermutlich habe ich solche Sätze auch irgendwann einmal
(vor sehr langer Zeit) auswendig gelernt bzw. auswendig
lernen müssen. Doch wenn ich mich irgendwie wieder daran
erinnern soll, helfen mir solch einfache Figuren am meisten -
und ich hab den entsprechenden "Speicherplatz" in meinem
Gehirn für Anderes frei.
Diese einfachen Skizzen kannst du dir aber auch ganz leicht
selber machen ...
LG , Al-Chw.
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