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Konstruiere Ein Menge: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mo 12.03.2012
Autor: Steffen2361

Aufgabe
Hi, könnt ich mal kurz einen Blick über meine Folgende Aufgabe werfen:

Man konstruiere eine Menge reeler Zahlen mit abzählbar vielen isolierten Punkten und folgenden Eigenschaften: Maximum bei 1; aber kein Minimum bei 0, ein innerer Punkt bei 1/2

Ok ich hätte folgendes vorgeschlagen:

Ich nehme [mm] \IQ [/mm] als Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] als meine isolierten Punkte

Dies "schneide ich nun mit dem Intervall (0,1]

Also ein Infimum bei 0, welches aber kein Minimum ist und ein Maximum bei 1

Sprich,

[mm] \IQ \cap [/mm] (0,1]

Und 1/2 ist natürlich ein innerer Punkt dieser Menge

Habe ich das richtige verstanden?


        
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mo 12.03.2012
Autor: fred97


> Hi, könnt ich mal kurz einen Blick über meine Folgende
> Aufgabe werfen:
>  
> Man konstruiere eine Menge reeler Zahlen mit abzählbar
> vielen isolierten Punkten und folgenden Eigenschaften:
> Maximum bei 1; aber kein Minimum bei 0, ein innerer Punkt
> bei 1/2
>  Ok ich hätte folgendes vorgeschlagen:
>  
> Ich nehme [mm]\IQ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] als meine isolierten
> Punkte
>  
> Dies "schneide ich nun mit dem Intervall (0,1]


Du meinst also: [mm] $M=\IQ \cap [/mm] (0,1]$  ?

Wenn ja: M hat nicht einen einzigen isolierten Punkt !!!

Schau nochmal nach dem Begriff "isolierter Punkt".


>  
> Also ein Infimum bei 0, welches aber kein Minimum ist und
> ein Maximum bei 1
>  
> Sprich,
>  
> [mm]\IQ \cap[/mm] (0,1]
>  
> Und 1/2 ist natürlich ein innerer Punkt dieser Menge

Unfug . Nie im Leben ist 1/2 ein innerer Punkt dieser Menge.

Auch mit dem Begriff "innerer Punkt " stehst Du auf Kriegsfuß

FRED

P.S.: wie bastelt man sich eine Menge M mit den gewünschten Eigenschaften ?

Setze [mm] M_1:=\{1/n: n \in \IN\} [/mm]

[mm] M_1 [/mm] hat abzählbar viele isolierte Punkte. Welche ?

Es ist 0= inf [mm] M_1 [/mm] und 1= max [mm] M_1 [/mm]

1/2 ist kein innerer Punkt von [mm] M_1. [/mm]

Also suche eine geeignete Menge [mm] M_2 [/mm] mit:

   1. M= [mm] M_1 \cup M_2 [/mm]

    2. M hat die gewünschten Eigenschaften

Wenn Du es richtig machst, geht Dir ein isolierter Punkt von [mm] M_1 [/mm] flöten. Das macht aber nix, denn die verbleibenden isolierten Punkte bilden nach wie vor eine abzählbare Menge.


>  
> Habe ich das richtige verstanden?
>  


Bezug
                
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 12.03.2012
Autor: Steffen2361


> > Hi, könnt ich mal kurz einen Blick über meine Folgende
> > Aufgabe werfen:
>  >  
> > Man konstruiere eine Menge reeler Zahlen mit abzählbar
> > vielen isolierten Punkten und folgenden Eigenschaften:
> > Maximum bei 1; aber kein Minimum bei 0, ein innerer Punkt
> > bei 1/2
>  >  Ok ich hätte folgendes vorgeschlagen:
>  >  
> > Ich nehme [mm]\IQ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] als meine isolierten
> > Punkte
>  >  
> > Dies "schneide ich nun mit dem Intervall (0,1]
>  
>
> Du meinst also: [mm]M=\IQ \cap (0,1][/mm]  ?
>  
> Wenn ja: M hat nicht einen einzigen isolierten Punkt !!!
>  
> Schau nochmal nach dem Begriff "isolierter Punkt".
>  
>
> >  

> > Also ein Infimum bei 0, welches aber kein Minimum ist und
> > ein Maximum bei 1
>  >  
> > Sprich,
>  >  
> > [mm]\IQ \cap[/mm] (0,1]
>  >  
> > Und 1/2 ist natürlich ein innerer Punkt dieser Menge
>  
> Unfug . Nie im Leben ist 1/2 ein innerer Punkt dieser
> Menge.
>  
> Auch mit dem Begriff "innerer Punkt " stehst Du auf
> Kriegsfuß
>  
> FRED
>  
> P.S.: wie bastelt man sich eine Menge M mit den
> gewünschten Eigenschaften ?
>  
> Setze [mm]M_1:=\{1/n: n \in \IN\}[/mm]
>  
> [mm]M_1[/mm] hat abzählbar viele isolierte Punkte. Welche ?

Naja das sind doch {1, 1/2, 1/3,...1/n}

Also ist das Maximum bei 1 und es gibt kein Minimum sondern nur ein Infimum bei 0. Das ist mit klar

>  
> Es ist 0= inf [mm]M_1[/mm] und 1= max [mm]M_1[/mm]
>  
> 1/2 ist kein innerer Punkt von [mm]M_1.[/mm]
>
> Also suche eine geeignete Menge [mm]M_2[/mm] mit:

Ok sei a die Zahl die um einen Wert kleiner als 1/2 ist und sei b jene Zahl die um einen Wert größer als 1/2 ist.

So hat  (a,b) genau einen inneren Punkt, nämlich 1/2

>  
> 1. M= [mm]M_1 \cup M_2[/mm]

Dann gilt:

[mm] \{1/n: n \in \IN\} \cup [/mm] (a,b)

Welches all mein Eigenschaften erfüllt oder?

mfg


>  


Bezug
                        
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Mo 12.03.2012
Autor: fred97


> > > Hi, könnt ich mal kurz einen Blick über meine Folgende
> > > Aufgabe werfen:
>  >  >  
> > > Man konstruiere eine Menge reeler Zahlen mit abzählbar
> > > vielen isolierten Punkten und folgenden Eigenschaften:
> > > Maximum bei 1; aber kein Minimum bei 0, ein innerer Punkt
> > > bei 1/2
>  >  >  Ok ich hätte folgendes vorgeschlagen:
>  >  >  
> > > Ich nehme [mm]\IQ[/mm] als Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] als meine isolierten
> > > Punkte
>  >  >  
> > > Dies "schneide ich nun mit dem Intervall (0,1]
>  >  
> >
> > Du meinst also: [mm]M=\IQ \cap (0,1][/mm]  ?
>  >  
> > Wenn ja: M hat nicht einen einzigen isolierten Punkt !!!
>  >  
> > Schau nochmal nach dem Begriff "isolierter Punkt".
>  >  
> >
> > >  

> > > Also ein Infimum bei 0, welches aber kein Minimum ist und
> > > ein Maximum bei 1
>  >  >  
> > > Sprich,
>  >  >  
> > > [mm]\IQ \cap[/mm] (0,1]
>  >  >  
> > > Und 1/2 ist natürlich ein innerer Punkt dieser Menge
>  >  
> > Unfug . Nie im Leben ist 1/2 ein innerer Punkt dieser
> > Menge.
>  >  
> > Auch mit dem Begriff "innerer Punkt " stehst Du auf
> > Kriegsfuß
>  >  
> > FRED
>  >  
> > P.S.: wie bastelt man sich eine Menge M mit den
> > gewünschten Eigenschaften ?
>  >  
> > Setze [mm]M_1:=\{1/n: n \in \IN\}[/mm]
>  >  
> > [mm]M_1[/mm] hat abzählbar viele isolierte Punkte. Welche ?
>  
> Naja das sind doch {1, 1/2, 1/3,...1/n}

Das sind doch nur endlich viele !

Es gilt:  x ist isolierter Punkt von [mm] M_1 \gdw [/mm] x [mm] \in M_1 [/mm]

>  
> Also ist das Maximum bei 1 und es gibt kein Minimum sondern
> nur ein Infimum bei 0. Das ist mit klar
>  >  
> > Es ist 0= inf [mm]M_1[/mm] und 1= max [mm]M_1[/mm]
>  >  
> > 1/2 ist kein innerer Punkt von [mm]M_1.[/mm]
> >
> > Also suche eine geeignete Menge [mm]M_2[/mm] mit:
>  
> Ok sei a die Zahl die um einen Wert kleiner als 1/2 ist und
> sei b jene Zahl die um einen Wert größer als 1/2 ist.

Was soll das heißen: "um einen Wert kleiner/größer " ???


>  
> So hat  (a,b) genau einen inneren Punkt, nämlich 1/2

Unsinn ! jeder Punkt von (a,b) ist innerer Punkt von(a,b)


>  
> >  

> > 1. M= [mm]M_1 \cup M_2[/mm]
>  
> Dann gilt:
>
> [mm]\{1/n: n \in \IN\} \cup[/mm] (a,b)
>  
> Welches all mein Eigenschaften erfüllt oder?

Wenn Du noch sagst, was a bzw. b ist, kann es richtig werden.

FRED

>  
> mfg
>  
>
> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Mo 12.03.2012
Autor: Steffen2361


>  
> Was soll das heißen: "um einen Wert kleiner/größer "
> ???

Ja ich weis nicht wie ich es aufschreiben soll....Formal würde ich sagen:

Angenommen: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a_n} [/mm]

Dann will ich genau die Zahlen haben welche , genau vor und eine genau nach [mm] \bruch{1}{2} [/mm] folgt. Also

[mm] (\bruch{1}{a_{n-1}}\bruch{1}{a_{n+1}}) [/mm]

Weil dann wäre [mm] \bruch{1}{2} [/mm] doch ein innerer Punkt oder?


>  
> FRED
>  >  
> > mfg
>  >  
> >
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Mo 12.03.2012
Autor: leduart

Hallo
mit deinem zahlbegriff geht etwas durcheinander,d.h du stellst dir die reellen Zahlen falsch vor. Nimm an es gäbe eine Zahl r>1/2 die "am nächsten" bei 1/2 liegt
dann
a) definiere "am nächsten"
b) finde eine Zahl p, 2<p<r
c) offensichtlich ist p naher als "am nächsten"!
Gruss leduart
die Aufgabe sagt nicht, dass 1/2 der einzige innere Punkt sein muß!
versuch wirklich eine "Vorstellung" von reellen Zahlen zu entwickeln, oder wenigstens eine vorstellung davon was es heißt dass sie dicht liegen.

Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Mo 12.03.2012
Autor: Steffen2361


> Hallo
>  mit deinem zahlbegriff geht etwas durcheinander,d.h du
> stellst dir die reellen Zahlen falsch vor. Nimm an es gäbe
> eine Zahl r>1/2 die "am nächsten" bei 1/2 liegt
>  dann
> a) definiere "am nächsten"
>  b) finde eine Zahl p, 2<p<r
>  c) offensichtlich ist p naher als "am nächsten"!
> Gruss leduart
>  die Aufgabe sagt nicht, dass 1/2 der einzige innere Punkt
> sein muß!

Alles klar, dass hat mir geholfen :)


>  versuch wirklich eine "Vorstellung" von reellen Zahlen zu
> entwickeln, oder wenigstens eine vorstellung davon was es
> heißt dass sie dicht liegen.

Ok

[mm] M_1 [/mm] :=  [mm] \{1/n: n \in \IN\} [/mm]

und [mm] M_2 [/mm] := (1, 1/3)

Dann sollte die Vereinigung doch passen also:

[mm] \{1/n: n \in \IN\} \cup [/mm] (1, 1/3)

oder?

>  
> Gruss leduart


Bezug
                                                        
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 12.03.2012
Autor: tobit09

Hallo Steffen,

> [mm]M_1[/mm] :=  [mm]\{1/n: n \in \IN\}[/mm]
>
> und [mm]M_2[/mm] := (1, 1/3)
>  
> Dann sollte die Vereinigung doch passen also:
>  
> [mm]\{1/n: n \in \IN\} \cup[/mm] (1, 1/3)
>  
> oder?

[ok] Ja, genau!

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                        
Bezug
Konstruiere Ein Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Di 13.03.2012
Autor: fred97


> > Hallo
>  >  mit deinem zahlbegriff geht etwas durcheinander,d.h du
> > stellst dir die reellen Zahlen falsch vor. Nimm an es gäbe
> > eine Zahl r>1/2 die "am nächsten" bei 1/2 liegt
>  >  dann
> > a) definiere "am nächsten"
>  >  b) finde eine Zahl p, 2<p<r
>  >  c) offensichtlich ist p naher als "am nächsten"!
> > Gruss leduart
>  >  die Aufgabe sagt nicht, dass 1/2 der einzige innere
> Punkt
> > sein muß!
>  
> Alles klar, dass hat mir geholfen :)
>  
>
> >  versuch wirklich eine "Vorstellung" von reellen Zahlen zu

> > entwickeln, oder wenigstens eine vorstellung davon was es
> > heißt dass sie dicht liegen.
>  
> Ok
>
> [mm]M_1[/mm] :=  [mm]\{1/n: n \in \IN\}[/mm]
>
> und [mm]M_2[/mm] := (1, 1/3)

Du meinst sicher  [mm]M_2[/mm] := (1/3, 1)

FRED


>  
> Dann sollte die Vereinigung doch passen also:
>  
> [mm]\{1/n: n \in \IN\} \cup[/mm] (1, 1/3)
>  
> oder?
>  
> >  

> > Gruss leduart
>  


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