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Konvergente Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Do 18.01.2018
Autor: gopro

Aufgabe
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz (ggf. Grenwert):
a) [mm] an=(3^n)/(5^n-1) [/mm]
b) [mm] bn=(1-1/(n^n))^n [/mm]
c) [mm] cn=(-1)^n*(4^n/(2^n+1)) [/mm]
d) [mm] dn=(-1)^n*(1-1/n)^{n^2} [/mm]

Hi,

nochmals ne Frage, diesmal aber wegen Folgen. Die Grenzwerte sind nicht mein Problem, nur ich weiß nicht wie man die Konvergenz von obigen Folgen zeigen soll, da das Epsilonkriterium nicht richtig greift und es auch nicht möglich ist die Folgen einfach so mit n zu kürzen. Schonmal Danke für eure Beiträge

        
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Konvergente Folgen: Idee zu a_n
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 18.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

andere Tipps hast du ja schon bekommen, mein hier ursprünglich geposteter Vorschlag war falsch. Sorry dafür.

so könnte man es auch machen:

[mm] \left|\bruch{3^n}{5^n-1}\right|=\bruch{3^n}{5^n-1}<\bruch{3^n}{5^n-3^n}\right=\bruch{1}{\left(5/3\right)^n-1}<\varepsilon [/mm]


Gruß, Diophant

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Konvergente Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:02 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Was kennst du bisher für Sätze aus der Vorlesung, die man benutzen könnte?

Habt ihr beispielsweise das Sandwich Lemma schon gesehen?

Im Generellen kann man den Ansatz verfolgen, dass man sich erstmal klar werden sollte ob die Folge überhaupt konvergiert oder nicht. Anschließend fängt man dann an das zu beweisen. Um dir das selbst besser verständlich zu machen kannst du "hohe" Werte für $n$ einsetzen und eventuell kannst du dich dann dem richtigen Ergebnis annähern, oder du betrachtest Teilfolgen und schaust wie die im Verhältnis wachsen.

Betrachten wir zum Beispiel a), da wurde dir ja bereits sehr gut geholfen.
Die Folge [mm] $3^n$ [/mm] wächst wesentlich langsamer als [mm] $5^n$. [/mm] Außerdem ist das Wachstun von [mm] $5^n$ [/mm] in der gleichen Größenordnung wie [mm] $5^n [/mm] -1$. Also was kannst du daraus auf die Division von beiden Teilfolgen schließen?
Wenn der Nenner ein "höheres" Wachstum als der Zähler hat, dann ist der Grenzwert des Bruchs wahrscheinlich $0$. Dann kannst du anfangen das zu beweisen mit Konzepten aus der VL beispielsweise.

Sandwich Lemma, Def,, Cauchy, keine Ahnung was du kennst. Dazu bräuchten wir mehr Informationen. :)

EDIT: Sorry, ich habe leider bei deinem Beitrag unten nicht gelesen, dass die Grenzwerte nicht das Problem sind, daher vergiss bitte den Abschnitt. Jedoch ist diese Idee trotzdem ziemlich interessant für das Sandwich Lemma. :)

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Konvergente Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:33 Fr 19.01.2018
Autor: HJKweseleit


> Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz (ggf. Grenwert):
>  a) [mm]an=(3^n)/(5^n-1)[/mm]

[mm] 0<(3^n)/(5^n-1)<(3^n)/(5^n-0,5*5^n) [/mm] ...     (da [mm] 0,5*5^n [/mm] > 1, wird der Nenner kleiner und die Zahl somit größer)
...= [mm] (3^n)/(0,5*5^n)=2*(3^n)/(5^n)=2*(3/5)^n [/mm] --> 0



>  b) [mm]bn=(1-1/(n^n))^n[/mm]

[mm] (1-a/n)^n --->e^{-a} [/mm]  als bekannt vorausgesetzt.
[mm] (1-a/n^n)^n=(1-n^{1-n}/n)^n --->e^{-n^{1-n}}=e^{-n/n^n} --->e^{-0} [/mm] = 1
(Na schön, der Beweis ist ein bisschen windig...)


>  c) [mm]cn=(-1)^n*(4^n/(2^n+1))[/mm]


[mm] 4^n/(2^n+1)> 4^n/(2^n+2^n)... [/mm]           (da Nenner größer als vorher)
[mm] ...=4^n/(2*2^n)=0,5*(4/2)^n=0,5*2^n [/mm] ---> [mm] \infty, [/mm] somit divergent

>  d) [mm]dn=(-1)^n*(1-1/n)^{n^2}[/mm]

[mm] (1-1/n)^{n^2}=(1-1/n)^{n*n}=((1-1/n)^n)^n --->(e^{-1})^n---> [/mm] 0, da [mm] e^{-1}<1 [/mm]  

(setzt [mm] (1-1/n)^n --->e^{-1} [/mm] voraus)



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Konvergente Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:33 Sa 20.01.2018
Autor: gopro

Super vielen Dank
Jetzt hab ich es wirklich verstanden.
danke

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Konvergente Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Sa 20.01.2018
Autor: fred97

Schau Dir meine Antwort an.

FRED

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Konvergente Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Sa 20.01.2018
Autor: fred97

Die Antworten von HJKweseleit zu b) und d) sind abenteuerlich !

Mit seiner "Methode" bekommen wir

(1+ [mm] \frac{1}{n})^n --->1^n [/mm] ----> 1, was offensichtlich Unfug ist.

b) Wir haben für n [mm] \ge [/mm] 2:

$1- [mm] \frac{1}{n} \le (1-\frac{1}{n^2})^n \le (1-\frac{1}{n^n})^n \le [/mm] 1$.

Die erste Ungleichung folgt aus der Bernoullischen Ungleichung.

Dies zeigt [mm] b_n \to [/mm] 1.

d) klar ist [mm] |d_n|^{1/n} \to [/mm] 1/e, somit ex. ein N mit

[mm] \frac{1}{2e} \le |d_n|^{1/n} \le \frac{2}{e} [/mm]  für n>N.

Daher: [mm] (\frac{1}{2e})^n \le |d_n| \le (\frac{2}{e})^n [/mm]  für n>N.

Dies zeigt [mm] d_n \to [/mm] 0.

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