matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz
Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz: Folge gegen Term
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Do 04.01.2018
Autor: b.reis

Aufgabe
Aufgabe 1:
Sei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (-1)^{n} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] mit  n [mm] \in \IN [/mm]

Geben Sie 2 Teilfolgen an , welche gegen verschiedene Grenzwerte Konvergieren (mit Beweis)

Hallo,

Es gibt 2 Arten hier den Grenzwert zu bestimmen. Einmal kann ich die L'hopital Regel anwenden und den Term im Nenner oder im Zähler so lange ableiten bis sich der Grenzwert bestimmen lässt. Oder ich weise nach, dass der Grenzwert ab einem bestimmten [mm] \varepsilon [/mm] existiert.

Meine Frage ist jetzt, wie ich hier vorgehen soll, denn die L'hopital Regeln sind doch nur für Terme und nicht für Folgen oder ?


Danke

        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 Do 04.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Aufgabe 1:
> Sei [mm]a_{n}[/mm] := [mm](-1)^{n}[/mm] * [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]

>

> Geben Sie 2 Teilfolgen an , welche gegen verschiedene
> Grenzwerte Konvergieren (mit Beweis)
> Hallo,

>

> Es gibt 2 Arten hier den Grenzwert zu bestimmen.

Achtung: die Folge an sich ist divergent, besitzt also keinen Grenzwert.

> Einmal
> kann ich die L'hopital Regel anwenden und den Term im
> Nenner oder im Zähler so lange ableiten bis sich der
> Grenzwert bestimmen lässt. Oder ich weise nach, dass der
> Grenzwert ab einem bestimmten [mm]\varepsilon[/mm] existiert.

Die Regel von de l'Hospital ist hier nicht zielführend. und ich denke, mann muss hier die Grenzwerte der beiden Teilfolgen auch nicht nachweisen (sie sind trivial). (Sorry, das mit dem Beweis hatte ich übersehen)

> Meine Frage ist jetzt, wie ich hier vorgehen soll, denn die
> L'hopital Regeln sind doch nur für Terme und nicht für
> Folgen oder ?

Betrachte mal die [mm] (-1)^n [/mm] und den Bruch getrennt.

- Welchen Grenzwert besitzt der Bruch für [mm] n\to\infty? [/mm] Beweise diesen Grenzwert mit dem Kriterium für Folgenkonvergenz.
- Was bewirkt der Faktor [mm] (-1)^n? [/mm]

Mit den Antworten auf diese Fragen siehst du leicht, dass die Folge zwei Häufungspunkte besitzt (so nennt man das, wenn es Teilfolgen mit unterschiedlichen Grenzwerten gibt). Und diese kannst du dann auch direkt samt zwei passenden Teilfolgen angeben (wenn du den Grenzwert des Bruchs vorher bewiesen hast).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Fr 05.01.2018
Autor: X3nion

Hallo!

Nun fangen wir doch erstmal an, Teilfolgen von [mm] (a_n) [/mm] zu bilden.

Eine wäre doch [mm] a_{2k}_{k \in \IN} [/mm] = [mm] \frac{2k}{2k+1}. [/mm]

Vermutung: [mm] \lim_{k \to \infty} a_{2k} [/mm] = 1

Beweis: Es ist [mm] |a_{2k} [/mm] - 1| = [mm] |\frac{2k}{2k+1} [/mm] - 1| = [mm] |\frac{-1}{2k + 1}| [/mm] = [mm] |\frac{1}{2k +1}|. [/mm]

Sei nun [mm] \epsilon [/mm] beliebig vorgegeben. Für alle k > [mm] \frac{\frac{1}{\epsilon} - 1}{2} [/mm] gilt [mm] |a_{2k} [/mm] - 1| < [mm] \epsilon. [/mm]

Daraus folgt die Behauptung.


Eine zweite naheliegende Teilfolge lautet wie?
Wenn du sie gefunden hast: beweise es mit dem [mm] \epsilon-Kriterium [/mm] der Konvergenz, oder nutze einen Satz aus der Vorlesung, welcher passen könnte (kleiner Tipp: es steht ein [mm] \cdot{} [/mm] zwischen den Termen ;-) )


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
        
Bezug
Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Fr 05.01.2018
Autor: X3nion

Habe es kurz niedergeschrieben, da der Formeleditor nicht funktioniert:

[]Link zum Bild

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 22m 8. Ice-Man
ULinAAb/Schräg liegender Zylinder
Status vor 8h 55m 4. HJKweseleit
UAnaR1FolgReih/Konvergente Folgen
Status vor 11h 25m 5. sven1
UDiskrMath/Graph (3 dim. Gitter teilen)
Status vor 11h 29m 1. sven1
GraphTheo/Hyperwürfel teilen
Status vor 14h 47m 1. noglue
Algebra/Dimension berechnen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]