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Forum "Funktionalanalysis" - Konvergenz Fourierreihe
Konvergenz Fourierreihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz Fourierreihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Do 22.10.2015
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Zeige, dass die Reihe [mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] konvergiert.

Ich habe mir gedacht, dass Bessel's Ungleichung [mm] $\sum_{k\ge 1}|c_k|^2\le\int_0^1|f(x)|dx$, [/mm] wobei [mm] $c_k$ [/mm] die Fourierkoeffizienten sind, eine Hilfe sein könnte. Nur kann ich das Integral nicht weiter abschätzen, weil ich ja $f(x)$ nicht kenne. Wie könnte das funktionieren?

        
Bezug
Konvergenz Fourierreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Do 22.10.2015
Autor: fred97


> Zeige, dass die Reihe [mm]$\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2}[/mm]
> konvergiert.
>  Ich habe mir gedacht, dass Bessel's Ungleichung [mm]\sum_{k\ge 1}|c_k|^2\le\int_0^1|f(x)|dx[/mm],
> wobei [mm]c_k[/mm] die Fourierkoeffizienten sind, eine Hilfe sein
> könnte. Nur kann ich das Integral nicht weiter
> abschätzen, weil ich ja [mm]f(x)[/mm] nicht kenne. Wie könnte das
> funktionieren?


So (aber ohne ein f):

Setze [mm] f_j(x):=\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] für j [mm] \in \IN_0 [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm]

Mach Dir klar:

   [mm] |f_j(x)|=\frac{1}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] für j [mm] \in \IN_0 [/mm] und x [mm] \in \IR. [/mm]

Die Reihe  [mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $ ist konvergent. Damit konvergiert die Reihe

   [mm] $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $

sogar absolut und gleichmäßig auf [mm] \IR. [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergenz Fourierreihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:21 Do 22.10.2015
Autor: mathestudent222

Danke. Bleibt das gleiche Argument aufrecht, wenn ich die Summe für [mm] $j\in\IZ$ [/mm] zulasse?

Im Zusatz der Aufgabe steht dann: Finde [mm] $\sum_{j\in\IZ}\frac{e^{-2\pi i(j+1)x}}{\pi^2 (2j+1)^2} [/mm] $. Wie könnte man da vorgehen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Fourierreihe: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:30 Do 22.10.2015
Autor: mathestudent222


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz Fourierreihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 24.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Fourierreihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 24.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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