matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisKonvergenz Laurentreihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Konvergenz Laurentreihe
Konvergenz Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 02.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Sei [mm] f: \IC\backslash\{0,7 \} \to \IC, f(z)= \bruch {1}{z(z-7)} [/mm]
Bestimmen Sie den Typ der Singularität von f.
Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklungen von f um [mm] z_{0}=7 [/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich dieser Laurentreihen.


Hallo!
1. f hat bei 0 und 7 jeweils einen Pol 1. Ordnung, da jeweils gilt:
[mm] \lim_{n \to z_{0}} (z-z_{0}) f(z) = g(z) [/mm] mit in [mm] z_{0} [/mm] holomorphen [mm] g(z) [/mm]

2. Durch Partialbruchzerlegung erhalte ich
a) mit |z-7|<7: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n-1}}{7^{k+2}} [/mm]

b) mit |z-7|>7: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{k+1}} [/mm]

Stimmt das bis dahin?

Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils, oder?
Diese habe ich mit der Formel [mm] Konvergenzradius = \lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] berechnet.
Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7 und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder nicht?

Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!

Grüßle, Lily

        
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Di 02.09.2014
Autor: fred97


> Sei [mm]f: \IC ohne \{0,7 \} \to \IC, f(z)= \bruch {1}{z(z-7)}[/mm]
> Bestimmen Sie den Typ der Singularität von f.
>  Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklungen von f um
> [mm]z_{0}=7[/mm]
>  Bestimmen Sie den Konvergenzbereich dieser Laurentreihen.
>  Hallo!
>  1. f hat bei 0 und 7 jeweils einen Pol 1. Ordnung, da
> jeweils gilt:
>   [mm]lim_{n \to z_{0}} (z-z_{0}) f(z) = g(z)[/mm] mit in [mm]z_{0}[/mm]
> holomorphen [mm]g(z)[/mm]

Was soll das denn ??

Nehmen wir z. B. [mm] z_0=7. [/mm] Dann gibt es eine auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] holomorphe Funktion g mit

[mm] $f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}$ [/mm]  für alle z [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm] und g(7) [mm] \ne [/mm] 0.

Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.



> 2. Durch Partialbruchzerlegung erhalte ich
>  a) mit |z-7|<7: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n-1}}{7^{k+2}}[/mm]

>  
> b) mit |z-7|>7: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{k+1}}[/mm]
>  
> Stimmt das bis dahin?

Nein. Es ist chaotisch !

Rechne hier vor !!!

FRED

>  
> Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja
> durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> oder?
>  Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> berechnet.
>  Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7
> und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> nicht?
>  
> Kann mir hier jemand helfen?
>  Das wäre toll!
>  
> Grüßle, Lily


Bezug
                
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Di 02.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort :-)

>
> Nehmen wir z. B. [mm]z_0=7.[/mm] Dann gibt es eine auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]
> holomorphe Funktion g mit
>  
> [mm]f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}[/mm]  für alle z [mm]\in \IC \setminus \{0\}[/mm]
> und g(7) [mm]\ne[/mm] 0.
>  
> Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.

Ok, danke. Das meinte ich auch, habs aber wohl eeetwas blöd ausgedrückt. Tut mir Leid!

>  
>
> Nein. Es ist chaotisch !
>  
> Rechne hier vor !!!
>  

Ok, dann mache ich das mal:
[mm] \bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7} [/mm] durch Multiplikation mit [mm] z(z-7) [/mm] und durch Koeffizientenvergleich erhalte ich die Gleichungen [mm] A+B=0 [/mm] und [mm] -7A=1 [/mm] wodurch ich [mm] A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7} [/mm] erhalte.

[mm] \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] ist schon an [mm] z_{0}=7 [/mm] entwickelt, bleibt also noch [mm] \bruch{-1}{7z} [/mm]

a) Sei |z-7|<7.
[mm] \bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}} [/mm]

Damit erhalte ich [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}} [/mm]

b) Sei |z-7|>7
[mm] \bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]

Und damit: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]

Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
Was mache ich denn falsch?


> > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  >  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja
> > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > oder?
>  >  Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > berechnet.
>  >  Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7
> > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > nicht?
>  >  


Grüßle, Lily
  


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Di 02.09.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Hallo!
>  Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort :-)
>  >

> > Nehmen wir z. B. [mm]z_0=7.[/mm] Dann gibt es eine auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]
> > holomorphe Funktion g mit
>  >  
> > [mm]f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}[/mm]  für alle z [mm]\in \IC \setminus \{0\}[/mm]
> > und g(7) [mm]\ne[/mm] 0.
>  >  
> > Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.
>  
> Ok, danke. Das meinte ich auch, habs aber wohl eeetwas
> blöd ausgedrückt. Tut mir Leid!
>  
> >  

> >
> > Nein. Es ist chaotisch !
>  >  
> > Rechne hier vor !!!
>  >  
> Ok, dann mache ich das mal:
>  [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch
> Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
>  
> [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
>  
> a) Sei |z-7|<7.
>  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> b) Sei |z-7|>7
>  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
>  Was mache ich denn falsch?

So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner darstellen.
Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis willst du kommen?
Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.

>
> > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  >  >  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man
> ja
> > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > oder?
>  >  >  Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > berechnet.
>  >  >  Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe
> r=7
> > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > nicht?
>  >  >  
>
>
> Grüßle, Lily
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Di 02.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!

>  >  [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch
> > Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> > erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> > [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> > also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
>  >  
> > a) Sei |z-7|<7.
>  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> >  

> > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> >  

> > b) Sei |z-7|>7
>  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> >  

> > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> >  

> > Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
>  >  Was mache ich denn falsch?
>  So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man
> könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> darstellen.
>  Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis willst
> du kommen?
>  Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.

Neinnein, ich komme auf das gleiche Ergebnis wie vorher, zu dem mir gesagt wurde, dass es wohl nicht stimmt. Daher habe ich die Rechnungen hier ausgeführt.

Aber gut, wenn das so stimmt, bin ich zufrieden, danke :-)

Dann komme ich zu den Konvergenzen:

>  >

> > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  >  >  >  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt
> man
> > ja
> > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > oder?
>  >  >  >  Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > berechnet.
>  >  >  >  Dann bekomme ich jedoch bei der ersten
> Laurentreihe
> > r=7
> > > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > > nicht?
>  >  >  >  

Könnte mir da noch jemand helfen?
Das wäre nett!
Grüßle, Lily

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Di 02.09.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Hallo!
>  Vielen Dank für die Antwort!
>  
> >  >  [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch

> > > Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> > > erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> > > [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
>  >  >  
> > > [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> > > also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
>  >  >  
> > > a) Sei |z-7|<7.
>  >  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > b) Sei |z-7|>7
>  >  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
>  >  >  Was mache ich denn falsch?
>  >  So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man
> > könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> > darstellen.
>  >  Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis
> willst
> > du kommen?
>  >  Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.
>  
> Neinnein, ich komme auf das gleiche Ergebnis wie vorher,

Hingeschrieben hast du im ersten Post aber noch was anderes, was rein formal schon falsch ist. (Werf doch nochmal einen genauen Blick drauf.)

> zu dem mir gesagt wurde, dass es wohl nicht stimmt. Daher habe
> ich die Rechnungen hier ausgeführt.
>  
> Aber gut, wenn das so stimmt, bin ich zufrieden, danke :-)
>  
> Dann komme ich zu den Konvergenzen:
>  >  >

> > > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  >  >  >  >  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt
> > man
> > > ja
> > > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > > oder?

Zum Einen ist es falschrum, zum anderen sehr schwammig (bis falsch) formuliert
Bitte schlage nochmal nach.

>  >  >  >  >  Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > > berechnet.
>  >  >  >  >  Dann bekomme ich jedoch bei der ersten
> > Laurentreihe
> > > r=7
> > > > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > > > nicht?

Die 7 passt aber wie kommst du auf die 1?
Was ist denn der Hauptteil?
Warum funktioniert dort obige Formel nicht?
(Cauchy-Hadamard dagegen tut es, wie immer, wäre aber zuviel Kanonen auf Spatzen)
Und warum kann man den Konvergenzradius dafür trotzdem sofort angeben?

P.S. Davon abgesehen, die einzigen Polstellen der Funktion sind bei 0 und 7. Damit ist eigentlich bereits anschaulich klar wie groß die Konvergenzscheibe ist: Sie kann nicht über die (echten) Polstellen hinaus, dazwischen ist die Funktion aber definiert, also r=0 und R=7

>
> Könnte mir da noch jemand helfen?
>  Das wäre nett!
>  Grüßle, Lily


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 Mi 03.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
> > > > a) Sei |z-7|<7.
>  >  >  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]

> > > > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]

> > > > b) Sei |z-7|>7
>  >  >  >  [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]

> > > > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]

>  >  >  So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt,
> man
> > > könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> > > darstellen.

Könnte das so funktionieren?

[mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} = \bruch{1}{7(z-7)} - \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} = \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]


>  Hingeschrieben hast du im ersten Post aber noch was
> anderes, was rein formal schon falsch ist. (Werf doch
> nochmal einen genauen Blick drauf.)

Oh, ups, ja :-/


>  >  
> > Dann komme ich zu den Konvergenzen:
>  >  >  >

> > > > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
>  >  >  >  >  >  Den Konvergenzbereich der Laurentreihen
> grenzt
> > > man
> > > > ja
> > > > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > > > oder?
>  Zum Einen ist es falschrum, zum anderen sehr schwammig
> (bis falsch) formuliert
>  Bitte schlage nochmal nach.

Ok, hab ich gemacht. Ich hatte das echt richtig falsch im Kopf :-/
Hier heißt es:
Sei [mm] L(z)=H(z)+N(z) [/mm] eine Laurentreihe im Entwicklungspunkt [mm] z_{0}, [/mm] R>0 der Konvergenzradius des Nebenteils N(z) und r'> der "Konvergenzradius" des Hauptteils H(z), dh. der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] H'(w):=H(1/w + [mm] z_{0})=a_{-1}w+a_{-2}w^2+... [/mm]
1. Ist r'*R [mm] \le [/mm] 1, so konvergiert L(z) auf keiner offenen Teilmenge von [mm] \IC. [/mm]
2. Ist r'*R >1 und r:=1/r', so konvergiert L(z) in dem Kreisring [mm] K_{r,R}(z_{0} [/mm] absolut und lokal gleichmäßig gegen eine holomorphe Funktion.

>  Die 7 passt aber wie kommst du auf die 1?
>  Was ist denn der Hauptteil?
>  Warum funktioniert dort obige Formel nicht?

Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist? Also der Hauptteil ist [mm] = \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] , dh. [mm] a_{n}= 1/7 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]

> (Cauchy-Hadamard dagegen tut es, wie immer, wäre aber
> zuviel Kanonen auf Spatzen)

Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:

[mm] r'(H(1/w + z_{0})=r'(w/7)= \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}(\wurzel[n]{|1/7|})}= \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}(\wurzel[n]{1/7})} = \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}( \bruch{1}{\wurzel[n]{7}})} [/mm]

[mm] \wurzel[n]{7} [/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm] \infty, [/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{7}} [/mm] geht dann also gegen [mm] \infty [/mm]
Damit geht der gesamte Bruch gegen 0

Dh. r'=0,
damit müsste dann aber doch gelten [mm] r=1/0= \infty [/mm]

Irgendwo ist hier ein Fehler.


>  Und warum kann man den Konvergenzradius dafür trotzdem
> sofort angeben?
>  
> P.S. Davon abgesehen, die einzigen Polstellen der Funktion
> sind bei 0 und 7. Damit ist eigentlich bereits anschaulich
> klar wie groß die Konvergenzscheibe ist: Sie kann nicht
> über die (echten) Polstellen hinaus, dazwischen ist die
> Funktion aber definiert, also r=0 und R=7
>  >

Kann man das immer so sagen?
Z.B. auch bei komplexen Polstellen?

Danke für die Hilfe!
Grüßle, Lily

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Mi 03.09.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Könnte das so funktionieren?

Natürlich.

> Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?

Keine Ahnung was das aussagen soll.

> Also der Hauptteil ist $ = [mm] \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] $ ,

Ja.

> dh. $ [mm] a_{n}= [/mm] 1/7 $ für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $

Nein.

> Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:

Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade nicht verwenden soll, ist das nicht C.H.
Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes superior.

> $ [mm] \wurzel[n]{7} [/mm] $ geht gegen 0 für n gg. $ [mm] \infty, [/mm] $

Nein.

Das sind alles Analysis I Fehler. Vielleicht wäre es sinnvoll sich damit nochmal zu beschäftigen.

> Kann man das immer so sagen?

Primzipiell ja.

> Z.B. auch bei komplexen Polstellen?

Ja. Was unterscheidet den komplexe Polstellen von reellen Polstellen bei einer komplexen Funktion?

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Mi 03.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Hallo!
Vielen Dank für deine Geduld mit mir!

> > Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?
> Keine Ahnung was das aussagen soll.

Schwachsinn -.-

>  > Also der Hauptteil ist [mm]= \bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ,

> Ja.
>  > dh. [mm]a_{n}= 1/7[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]

>  Nein.

[mm] a_{n}=1/7 [/mm] für n=-1 und [mm] a_{n}=0 [/mm] für alle n [mm] \not= [/mm] -1

>  
> > Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
> Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade
> nicht verwenden soll,

Das habe ich schon verstanden, aber ich dachte, das sei vllt mal eine gute Übung, wenn man das Ergebnis ja schon weiß, oder nicht?

> ist das nicht C.H.
>  Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes
> superior.

Das ist mir schon klar, aber es gibt auch Fälle, in denen Limes superior und Limes gleich sind, oder nicht? Und ich dachte, dass das hier der Fall sei, da [mm] \wurzel[n]{1/7} [/mm] mit n gegen unendlich nicht hin und her "springt", so weit ich sehen konnte... ?

>  
> > [mm]\wurzel[n]{7}[/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm]\infty,[/mm]
>  Nein.

Da war ich wohl zu voreilig -.-
es geht von oben gegen 1, oder?

Tut mir Leid, dass ich so langsam bin, aber Konvergenzen waren noch nie meine Freunde :-/

Grüßle, Lily

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 Mi 03.09.2014
Autor: fred97


> Hallo!
>  Vielen Dank für deine Geduld mit mir!
>  
> > > Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?
> > Keine Ahnung was das aussagen soll.
>  
> Schwachsinn -.-
>
> >  > Also der Hauptteil ist [mm]= \bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ,

> > Ja.
>  >  > dh. [mm]a_{n}= 1/7[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]

>  >  Nein.
>  
> [mm]a_{n}=1/7[/mm] für n=-1 und [mm]a_{n}=0[/mm] für alle n [mm]\not=[/mm] -1

Ja


>  
> >  

> > > Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
> > Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade
> > nicht verwenden soll,
>  
> Das habe ich schon verstanden, aber ich dachte, das sei
> vllt mal eine gute Übung, wenn man das Ergebnis ja schon
> weiß, oder nicht?
>  
> > ist das nicht C.H.
>  >  Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes
> > superior.
>  
> Das ist mir schon klar, aber es gibt auch Fälle, in denen
> Limes superior und Limes gleich sind, oder nicht?

Ja, das stimmt. Kommt aber so gut wie nie vor, nur bei den paar popeligen konvergenten Folgen.....

Spass beiseite. Als Mathe-Student im Hauptstudium, solltest Du wissen, dass bei einer konvergenten Folge [mm] x_n [/mm] gilt:

lim sup [mm] x_n [/mm] = lim [mm] x_n [/mm] = lim inf [mm] x_n. [/mm]






> Und ich
> dachte, dass das hier der Fall sei, da [mm]\wurzel[n]{1/7}[/mm] mit
> n gegen unendlich nicht hin und her "springt", so weit ich
> sehen konnte... ?
>  
> >  

> > > [mm]\wurzel[n]{7}[/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm]\infty,[/mm]
>  >  Nein.
>  
> Da war ich wohl zu voreilig -.-
> es geht von oben gegen 1, oder?

Ja, auch das sollte man als Mathe-Student im Hauptstudium drauf haben.


>  
> Tut mir Leid, dass ich so langsam bin, aber Konvergenzen
> waren noch nie meine Freunde :-/

Dann freunde Dich damit so umgehend wie geschwind an. Sonst werden Master oder Diplom nie Deine Freunde...

Dein Freund FRED

>  
> Grüßle, Lily


Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz Laurentreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 Mi 03.09.2014
Autor: Mathe-Lily

Vielen Dank für die Hilfe! :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]