matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz beweisen?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz beweisen?
Konvergenz beweisen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz beweisen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mo 12.05.2014
Autor: Bob123

Aufgabe
Untersuchen Sie untenstehende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte
a) [mm] a_n [/mm] =: [mm] \frac{(2-n)^2}{2n^2-2} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Habe die Aufgabe aber in einem anderen Forum entdeckt, allerdings mit Fehlern...

Hi,

Ich brauche Hilfe bei einem Konvergenzbeweis, wie gehe ich da vor?
Den Grenzwert habe ich bereits errechnet, Grenzwert a = 1/2
Ich muss doch folgendermaßen anfangen:

Sei Epsilon > 0 gegeben, so, dann:

komm ich darauf indem ich |an-a| < Epsilon setze.

[mm] \frac{4n-5}{2n^2-2} [/mm]

Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?



        
Bezug
Konvergenz beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Mo 12.05.2014
Autor: Valerie20


> Untersuchen Sie untenstehende Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte
> a) [mm]a_n[/mm] =: [mm]\frac{(2-n)^2}{2n^2-2}[/mm]

> Hi,

>

> Ich brauche Hilfe bei einem Konvergenzbeweis, wie gehe ich
> da vor?
> Den Grenzwert habe ich bereits errechnet, Grenzwert a =
> 1/2
> Ich muss doch folgendermaßen anfangen:

>

> Sei Epsilon > 0 gegeben, so, dann:

>

> komm ich darauf indem ich |an-a| < Epsilon setze.

>

> [mm]\frac{4n-5}{2n^2-2}[/mm]

>

> Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die
> Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?

>
>

Die Definition hast du doch schon richtig hingeschrieben. Jetzt musst du im Prinzip nur die Folge und den Grenzwert für die Definitonsdeklaration einsetzten:

[mm] $|\frac{(2-n)^2}{2n^2-2}-\frac{1}{2}|<\varepsilon$ [/mm]

Jetzt bringst du alles auf einen Bruch und vereinfachst. Danach schätzt du das ganze nach oben hin ab und gibst wie in der Definiton ein N an, für das die Folge konvergiert. 

Valerie

Bezug
                
Bezug
Konvergenz beweisen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Mo 12.05.2014
Autor: Bob123

Und wie tu ich das nach oben hin abschätzen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mo 12.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Und wie tu ich das nach oben hin abschätzen?

Was?

Die Frage ist Ernst gemeint: es wurde dir geraten die Differenz im Betrga zu vereinfachen. Das hast du offensichtlich jedoch noicht getan, denn

- es steht oben nicht
- wenn du es richtig gemacht hättest, dann wüprdest du mir Recht geben, dass sich dann deine obioge Frage nicht mehr stellt, weil es dann völlig trivial ist.

Im Zähler des Bruchs wird nämlcih eine Differenz stehen, und es wird einzig und alleine darauf ankommen, in dieser Diefferenz etwas wegzulassen, so dass der entstehende Term größer ist als der ursprüngliche...


Gruß, Diophant 

 

Bezug
        
Bezug
Konvergenz beweisen?: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:31 Di 13.05.2014
Autor: DieAcht

Hallo Bob und [willkommenmr]!


> [mm]\frac{4n-5}{2n^2-2}[/mm]

Hier hast du ein Vorzeichenfehler gemacht. Es gilt:

      [mm] \frac{(2-n)^2}{2(n^2-1)}-\frac{1}{2}=\frac{(2-n)^2-(n^2-1)}{2(n^2-1)}=\frac{5-4n}{2(n^2-1)} [/mm] für alle [mm] n\in\IN\setminus\{1\}. [/mm]

edit: Okay, anscheinend hast du das Vorzeichen ausgeklammert
und die Eigenschaft des Betrags ausgenutzt (Danke Sax!).
  

> Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die
> Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?

Wähle ein

      [mm] N=N(\epsilon)\in\IN, [/mm]

sodass gilt:

      [mm] \left|a_n-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.

Hier empfehle ich zunächst

      [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| [/mm]

nach oben abzuschätzen.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenz beweisen?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:54 Di 13.05.2014
Autor: Sax

Hi,

es liegt durchaus kein Vorzeichenfehler vor.

Der Rest wurde schon gesagt.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz beweisen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:04 Mi 14.05.2014
Autor: Bob123

Hi, danke für deine Antwort, immernoch die Frage, wie schätzt man generell nach oben ab? Ich versteh das nicht mit dem Abschätzen, was muss man da tun? Wählt man willkürlich einfach einen Wert oder was genau muss man da machen? Ich kann ja einfach irgendeine große Zahl wählen und die ist dann größer als der Ausdruck bzw. kleiner... Gibt es da bestimmte Tricks oder bestimmte Regeln zu befolgen?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Mi 14.05.2014
Autor: fred97


> Hi, danke für deine Antwort, immernoch die Frage, wie
> schätzt man generell nach oben ab? Ich versteh das nicht
> mit dem Abschätzen, was muss man da tun? Wählt man
> willkürlich einfach einen Wert oder was genau muss man da
> machen? Ich kann ja einfach irgendeine große Zahl wählen
> und die ist dann größer als der Ausdruck bzw. kleiner...
> Gibt es da bestimmte Tricks oder bestimmte Regeln zu
> befolgen?  

Kurz: dafür gibt es keine Kochrezepte !

Zu Deinem Fall:



      $ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| [/mm] $

Zunächst sollten wir die Beträge loswerden:


      $ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| =\frac{4n-5}{2(n^2-1)}$ [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 2.

Wegen 4n-5 [mm] \le [/mm] 4n bekommen wir:

$ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| =\frac{4n-5}{2(n^2-1)} \le \frac{4n}{2(n^2-1)}=\frac{2n}{n^2-1}= \frac{2n}{(n-1)(n+1)}$ [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 2.

Wegen n+1 [mm] \ge [/mm] n ist [mm] \frac{2n}{(n-1)(n+1)} \le \frac{2n}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1} [/mm]  für n [mm] \ge [/mm] 2, also:

[mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| \le \frac{2}{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.

FRED


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz beweisen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mi 14.05.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Eine "winzige" Abschätzung reicht völlig aus.

Es gilt:

       [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right|=\frac{4n-5}{2(n^2-1)}<\frac{4n-4}{2(n^2-1)}=\frac{4(n-1)}{2(n+1)(n-1)}=\frac{2}{n+1}, [/mm]

sodass wir übrigens (zur Verschönerung) mit

      [mm] \frac{2}{n+1}<\frac{2}{n} [/mm]

super bedient sind. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]