matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenz der Reihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz der Reihen
Konvergenz der Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz der Reihen: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}} [/mm]
(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}) [/mm]
(c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n [\bruch{1}{2n} exp(\bruch{n^5-3n+7}{n^6-2n^2+2}) ]^2 [/mm]
(d) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(−1)^{n+2}}{5n + 1} [/mm]



Könnte mir jemand hier Helfen bzw. sagen was ich hier machen/anwenden soll?

        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:03 Fr 12.02.2016
Autor: bla1bla2bla3bla4

1. rausfinden was konvergenz einer reihe heisst am besten mit dem Skript deiner Vorlesung


2. durchrechnen


3. dasselbe für die absolute Konvergenz  

Bezug
        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Fr 12.02.2016
Autor: abakus

Bei Reihen mit ständigem Vorzeichenwechsel ist sicher das Leibniz-Kriterium die erste Wahl.
Für die absolute Konvergenz musst du andere bekannte Kriterien heranziehen.

Bezug
                
Bezug
Konvergenz der Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

(a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}} [/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |((-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}})| [/mm] = |1*0| = 0
da ja sin sich im Intervall von [-1,1] bewegt und [mm] \wurzel{n^5} [/mm] immer größer wird
[mm] a_{n+1} \le a_n [/mm]
[mm] \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi (n+1)^8)}{\wurzel{(n+1)^5}}) \le \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}) [/mm]
[mm] \gdw \bruch{2}{\wurzel{(n+1)^5}}) \le \bruch{2}{\wurzel{n^5}} [/mm] | da ja sinus sich im Intervall von [-1,1] bewegt
[mm] \gdw \wurzel{(n+1)^5} \le \wurzel{n^5} [/mm] | :2
[mm] \gdw (n+1)^5 \le n^5 [/mm] und damit eine falsche Aussage

(b) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}) [/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |((-1)^{n+1}(\bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}))| [/mm]
Es ist zwar offensichtlich, aber wie kann ich hier beweisen, dass exp(n) schneller wächst im [mm] \infty [/mm] als [mm] n^2 [/mm] ? Damit wäre die Folge im [mm] \infty [/mm] auch 0
[mm] a_{n+1} \le a_n [/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^2+7(n+1)+1}{exp(n+1)}) [/mm] = [mm] \bruch{n^2+9n+9}{exp(n+1)}) \le \bruch{n^2+7n+1}{exp(n)}) [/mm]
Es ist zwar wieder offensichtlich, dass exp(n+1) schneller wächst als exp(n) und damit ist [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] , aber wie ich das beweisen kann weiß ich nicht :(



Bezug
                        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Hi!!

Es ist immer schwierig etwas zu beantworten wenn man erstmal raten muss was du überhaupt zeigen willst!!
Zu a) ich gehe jetzt mal davon aus du möchtest zeigen das die Reihe absolut konvergent ist.
So du hast ja schon richtig bemerkt das gilt [mm] -1\le [/mm] sin(x) [mm] \ge [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR! [/mm]
Nun kannst du also
[mm] |(-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}| [/mm] geignet nach oben abschätzen
mit [mm] |(-1)^n \bruch{sin(\bruch{1}{3}\pi n^8)}{\wurzel{n^5}}| \le \bruch{1}{\wurzel{n^5}}\le\bruch{1}{\wurzel{n^4}} [/mm]
Was kannst du nun über die Reihe sagen??
Die b) machen wir dannach

LG


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz der Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] wenn ich mich nicht irre.
Also die Reihe konvergiert gegen 0

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Nein die Folge konvergiert gegen null!
Die Reihe konvergiert absolut aber nicht gegen null!!
Und wenn die Reihe absolut konvergiert was kannst du dann über die "normale"
Konvergenz der Reihe sagen???

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz der Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp


> Nein die Folge konvergiert gegen null!

Was habe ich geschrieben?

>  Die Reihe konvergiert absolut aber nicht gegen null!!
>  Und wenn die Reihe absolut konvergiert was kannst du dann
> über die "normale"
>  Konvergenz der Reihe sagen???

Dass sie gegen immernoch gegen Null konvergiert?


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Also du schreibst die Reihe konvergiert gegen null das tut sie aber nicht sondern die Folge und dass ist nunmal nicht das selbe!!
Und nein wenn du weisst das die Reihe absolut konvergiert dann weisst du auch das sie konvergiert!!
Nach dem Grenzwert ist nich gefragt deswegen musst du diesen auch nicht berechnen!!
LG

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz der Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 12.02.2016
Autor: rsprsp

Ist doch gut...

Wie soll es weiter gehen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz der Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 12.02.2016
Autor: Jule2

Weiter gehts mit uns beiden gar nicht mehr, denn wenn ich mir schon die Zeit nehme auf deine Fragen zu antworten und dein mit verlaub oftmals mit nicht besonders viel Mühe Aufgeschriebenes  zu entziffern, dann kannst du doch wenigstens etwas mehr Benehmen an den Tag legen!! Also schönen Abend trotzdem und die a) ist damit ja auch fertig!!

Bezug
                
Bezug
Konvergenz der Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 Fr 12.02.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bei Reihen mit ständigem Vorzeichenwechsel ist sicher das Leibniz-Kriterium die erste Wahl.

gerade bei der ersten Reihe bringt das leider absolut gar nichts, da das Leibniz-Kriterium Monotonie für den Betrag der Folge fordert. Und die ist hier leider nicht gegeben...

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]