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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz einer Folge
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Konvergenz einer Folge: Konvergiert die Folge?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

Aufgabe
Konvergiert die Folge (an)n mit an = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k


Hallo,

ich wollte die o.g. Aufgabe lösen. Hier ist nicht nach dem genauen Grenzwert gefragt.

Meine Idee. Man zeigt Beschränktheit und Monotonie.

Beschränktheit kann man mit dem Sandwich-Lemma zeigen und kommt dann dazu, dass die Folge durch 0 und 1 Beschränkt ist.

Ich habe aber ein Problem bei der Monotonie.

Ich wollte

[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k >= [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2} [/mm] 1/k

zeigen.

Ist das soweit richtig? Jedes n durch n+1 ersetzen?

Wenn man dann anfängt, kommt man zu:

[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k >= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k + [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]

Wenn man nun den Hauptnenner bildet, bekommt man leider einen positiven Quotienten raus, das heißt ja, dass auf der rechten Seite ein kleines bisschen mehr als Links in der Ungleichung steht, sprich es scheint nicht monoton fallend zu sein, was sie aber eigentlich sein müsste...

kann mir jemand helfen?

Viele Grüße und Dankeschön :)

        
Bezug
Konvergenz einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Di 04.08.2015
Autor: leduart

Hallo
die Folge ist monoton wachsend , nicht fallend! also kannst du nicht beweisen, was da steht.
was da steht ist doch sehr falsch
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n}1/k>\summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k+ noch weitere Summanden??
du musst zeigen
[mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}=\summe_{k=n+1}^{2n}1/k [/mm] -1/(n+1)+1/(2n+1)+/(2n+2) [mm] >\summe_{k=n+1}^{2n}1/k [/mm]
also -1/(n+1)+1/(2n+1)+/(2n+2) >0
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Konvergenz einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Di 04.08.2015
Autor: mathelernender

Hi,

jo dankeschön. Hab mich da "vom Gefühl" etwas trügen lassen. Mein 1. Eindruck war, dass die Folge fällt.

Aber ansonsten hab ich quasi da schon die Summanden aus der Summe rausgeholt um die Summen vergleichen zu können - und dabei fällt ja auf, dass sie nicht fällt...

Dankeschön!

Bezug
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