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Konvergenz in Verteilung: Tipp
Status: (Question) answered Status 
Date: 08:58 So 18/06/2017
Author: Trajan

Aufgabe
Sei [mm] (X_n) [/mm] eine Folge von u.i.v Poissonverteilten Zufallsvariablen mit Parameter [mm] \lambda > 0[/mm].
Berechnen Sie den Limes:
[mm] \lim_{n \to \infty}P(\sum_{k=1}^{n} X_k \le n) [/mm]

Ich denke, dass man diese Aufgabe mit dem zentralen Grenzwertsatz lösen soll.

Ich habe also den oben stehenden Ausdruck wie folgt umgeformt.
[mm] P(\sum_{k=1}^{N} X_k\le n)=P(\bruch{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \bruch{X_k-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\le \bruch{1-\lambda}{\sqrt{\lambda}}) [/mm]

was ja schonmal ganz gut aussieht. Aber der Vorfaktor
[mm]\bruch{1}{n}[/mm] ist zu viel. Icn bräuchte [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm]. Aber ich sehe leider nicht, wie ich weiter umformen kann.  Ich könnte zwar [mm]\bruch{1}{n}[/mm] in die Summe ziehen und mit Mittelwerten arbeiten, aber dann würde immer noch ein [mm]\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm] fehlen.
Kann jemand aushelfen? Oder ist gar mein ganzer Ansatz falsch?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz in Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:31 Mi 21/06/2017
Author: luis52

Moin Trajan

[willkommenmr]

Zwei Tipps auf die Schnelle:

1) [mm] $\sum_{k=1}^nX_k$ [/mm] ist Poisson-verteilt mit Parameter [mm] $n\lambda$ [/mm] ...
2) Ein bisschen Herumprobieren auf dem Rechner laesst mich zur folgenden Vermutung kommen: Der Grenzwert ist 0 fuer [mm] $\lambda>1$, [/mm] 1 fuer [mm] $\lambda<1$ [/mm] und 1/2 fuer [mm] $\lambda=1$. [/mm] Beweisen kann ich's leider nicht. :-(


Mir ist noch etwas eingefallen. Das Ereignis ist aequivalent mit [mm] $(\bar X\le [/mm] 1)$, wobei [mm] $\bar X=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k$ [/mm] das arithmetische Mittel ist. Es gilt [mm] $\operatorname{E}[\bar X]=\lambda$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\lambda/n$. [/mm] Ist [mm] $\lambda<1$, [/mm] so wird die Wahrscheinlichkeitsmasse der Verteilung von [mm] $\bar [/mm] X$ nach links von 1 verschoben. Ungeschuetzt ein dritter Tipp: Tschebyschewsche Ungleichung?



Bezug
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