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Forum "Funktionalanalysis" - Konvergenz von Folgen
Konvergenz von Folgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Fr 06.05.2016
Autor: nali

Aufgabe
Zu betrachten ist die Menge [mm]C([0,2\pi],\IR)[/mm] aller stetigen Funktionen [mm]f : [0,2\pi]\rightarrow \IR[/mm] mit der Metrik [mm]d_{max}(f,g):=max(|f(x)-g(x)|:x\in[a,b])[/mm]. Sind die folgenden Folgen in diesem Raum konvergent? Berechnen sie ggf. den Grenzwert.

[mm]f(x) : sin(x)^k[/mm]

[mm]g(x) : sin(kx)[/mm]

[mm]h(x) : x-\frac{1}{k}sin(kx)[/mm]

Ich bin mir nicht sicher wie die richtige Vorgehensweise ist und benötige ein wenig Unterstütztung. Hier meine Gedanken.

Eine Folge im metrischen Raum [mm](X,d)[/mm] heißt konvergent, falls es ein [mm]x\inX[/mm] mit folgender Eigenschaft gibt:

[mm]\forall \epsilon \in \IR^{>0} \quad \exists n \n \IN \quad \forall k>n \quad d(x_k,x)< \epsilon[/mm].

Für [mm] x=0,\pi,2\pi [/mm] ist der Sinus 0. Hier konvergiert die Folge mit dem Grenzwert 0 sobald [mm] k\rightarrow \infty. [/mm]

Für [mm] x=\pi/2 [/mm] ist der Sinus 1. Die Folge konvergiert, der Grenzwert ist 1.

Für [mm] x=3/2\pi [/mm] ist der Sinus -1. Hier entsteht eine alternierende Folge und es konvergiert mMn nicht.

In allen Werten dazwischen konvergiert die Folge für k [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen 0, da der Sinus immer < 0 ist.

Die Funktion g konvergiert für x=0, für alle anderen x nicht.

Die funktion h konvergiert gegen den Grenzwert x.

Frage: Es kommt mir vor als ob ich die Punktweise Konvergenz betrachte und nicht den ganzen Raum? Wie bewerte ich es bezüglich der Metrik?

        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:52 Sa 07.05.2016
Autor: fred97


die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die gleichmäßige Konvergenz auf [0,2 [mm] \pi] [/mm]

fred

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Mo 09.05.2016
Autor: nali

ist>
> die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die
> gleichmäßige Konvergenz auf 0,2 [mm]\pi][/mm]
>  
> fred

Ist die Aufgabe richtig gelöst?

Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer Metrik? Oder ist es anders definiert?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Mo 09.05.2016
Autor: fred97


> ist>
> > die Konvergenz bezüglich obiger Metrik ist gerade die
> > gleichmäßige Konvergenz auf 0,2 [mm]\pi][/mm]
>  >  
> > fred
>
> Ist die Aufgabe richtig gelöst?

Nein. Du hast nur punktweise Konvergenz betrachtet.


>  
> Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> Metrik? Oder ist es anders definiert?

Unsinn.


Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x [mm] \in [/mm] M

[mm] (x_n) [/mm] konv. gegen x

[mm] \gdw [/mm]

zu jedem(!) [mm] \varepsilon [/mm] >0 ex. ein [mm] k=k(\varepsilon) \in \IN [/mm] mit [mm] d(x_n,x)< \varepsilon [/mm] für alle n>k.

Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm] \varepsilon [/mm] >0 "

FRED


Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Di 10.05.2016
Autor: nali


> > Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> > [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> > groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> > Metrik? Oder ist es anders definiert?
>
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x
> [mm]\in[/mm] M
>  
> [mm](x_n)[/mm] konv. gegen x
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  
> zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 ex. ein [mm]k=k(\varepsilon) \in \IN[/mm]
> mit [mm]d(x_n,x)< \varepsilon[/mm] für alle n>k.
>  
> Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 "
>  
> FRED
>  

Okay, verständlich.

Wenn eine Funktion schon punktweise im Definitionsbereich nicht konvergiert, kann sie überhaupt noch gleichmäßig konvergieren? Oder genügt es einen Punkt im Definitionsbereich zu finden indem sie nicht konvergiert?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz von Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Di 10.05.2016
Autor: fred97


> > > Wenn ich mit Metriken arbeite, dann habe ich doch immer mit
> > > [mm]d(x,x')<\epsilon[/mm] Bedinungen. Wenn ich Epsilon beliebig
> > > groß wähle, dann konvergiert doch alles bezüglich einer
> > > Metrik? Oder ist es anders definiert?
> >
> > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in einem metrischen Raum (M,d) und x
> > [mm]\in[/mm] M
>  >  
> > [mm](x_n)[/mm] konv. gegen x
>  >  
> > [mm]\gdw[/mm]
>  >  
> > zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 ex. ein [mm]k=k(\varepsilon) \in \IN[/mm]
> > mit [mm]d(x_n,x)< \varepsilon[/mm] für alle n>k.
>  >  
> > Die Betonung liegt auf "zu jedem(!) [mm]\varepsilon[/mm] >0 "
>  >  
> > FRED
>  >  
>
> Okay, verständlich.
>  
> Wenn eine Funktion


Du meinst sicher "eine Funktionenfolge..."


>  schon punktweise im Definitionsbereich
> nicht konvergiert, kann sie überhaupt noch gleichmäßig
> konvergieren?


Nein, das kann sie nicht, denn aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz.

FRED


> Oder genügt es einen Punkt im
> Definitionsbereich zu finden indem sie nicht konvergiert?  


Bezug
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