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Konvergenz zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Di 01.08.2017
Autor: Rocky1994

Guten Tag,

ich scheitere an folgende Aufgabe und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Aufgabe:

Weisen sie schlüssig nach, dass nachfolgend gegebene Reihe konvergiert:

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}} [/mm]

Meine Idee: Ich würde es übers Wurzelkriterium zeigen. Weiß aber nicht, ob das so richtig ist.

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}} [/mm] =>  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{\bruch{n}{(3-\bruch{1}{n})^{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{3-\bruch{1}{n})^{n}}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{3-\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}*n}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}+1}}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1+n}{n}}}{3*n-1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n*n^{\bruch{1+n}{n}-1}}{n*(3-\bruch{1}{n})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{3-\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]  , da [mm] \bruch{1}{3}<1 [/mm] => Konvergenz

Kann man das so machen?

LG Rocky1994

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Di 01.08.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

Richtig gemacht!

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Konvergenz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Di 01.08.2017
Autor: Rocky1994

Vielen Dank für deine Hilfe!

LG Rocky1994

Bezug
        
Bezug
Konvergenz zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:24 Mi 02.08.2017
Autor: fred97

Du schreibst

$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}}{3-\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{n}\cdot{}n}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}+1}}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1+n}{n}}}{3\cdot{}n-1} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n\cdot{}n^{\bruch{1+n}{n}-1}}{n\cdot{}(3-\bruch{1}{n})} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^{\bruch{1}{n}}}{3-\bruch{1}{n}} [/mm] $

Ganz rechts und ganz links steht dasselbe ! Wozu das Gedöns in der Mitte ?

Bezug
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