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Konvergenzmenge finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 Sa 05.08.2017
Autor: Herzblatt

Aufgabe
Bestimme die Menge in der [mm] \sum_{k\ge 0} \left( \frac{z}{z+1}\right)^k [/mm]
absolut konvergiert.


Hallo,

ich dachte hier an eine Fallunterscheidung. Wenn z>0 dann ist [mm] \frac{z}{z+1} [/mm] < 1 und mit der geometrischen Reihe konvergiert die Summe gegen z+1. Ist das bis jetzt richtig? Wie gehe ich jetzt in dem zweiten Fall (z<0)vor? Außerdem verwirrt mich der Begriff "Menge" in der Aufgabenstellung. Ist der gleich zu setzen mit der Aufgabenstellung den Konvergenzradius mit Mittelpunkt zu finden?

        
Bezug
Konvergenzmenge finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:12 Sa 05.08.2017
Autor: leduart

Hallo,
die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall [mm] [0,\infty)\in \IR [/mm] oder [mm] \IR^+ [/mm]
falls z [mm] \in \IR, [/mm]
für komplexe Zahlen macht ja z>0 keinen Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur reelle Folgen?
für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine Nullfolge bilden.
Gruß leduart

Bezug
                
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Konvergenzmenge finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:22 Sa 05.08.2017
Autor: Herzblatt


> Hallo,
> die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
>  falls z [mm]\in \IR,[/mm]
>  für komplexe Zahlen macht ja z>0 keinen
> Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> reelle Folgen?

z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das war wohl der Fall, dass  z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber weiß nicht ob mir das weiterhilft?

>   für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine Nullfolge
> bilden.

Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge sein, da der Zähler immer größer ist als der Nenner....
Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen soll....

>  Gruß leduart


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzmenge finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Sa 05.08.2017
Autor: fred97


> > Hallo,
> > die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> > [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
>  >  falls z [mm]\in \IR,[/mm]
>  >  für komplexe Zahlen macht ja z>0
> keinen
> > Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> > reelle Folgen?
>  z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das war
> wohl der Fall, dass  z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich
> könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber
> weiß nicht ob mir das weiterhilft?
>  >   für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine
> Nullfolge
> > bilden.
>  Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge sein,
> da der Zähler immer größer ist als der Nenner....

Ja, ja, manchmal weiss man Sachen die gar nicht stimmen.  Schau die mal die Sache mit x=-1/4 oder x= -0,12345678987897 an.


>  Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen
> soll....

Es müffelt nach geometrischer Reihe mit [mm] $q=\frac{z}{z+1}$, [/mm] wobei ich davon ausgehe, dass z komplex ist.

[mm] \sum_{k \ge 0}q^k [/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] |q|<1 [mm] \gdw [/mm] |z|<|z+1|  [mm] \gdw |z|^2<|z+1|^2. [/mm]

Wenn Du nun für komplexes w berücksichtigst, dass $ [mm] |w|^2=w \overline{w}$ [/mm] gilt, solltest Du kommen auf

$ |z|<|z+1|  [mm] \gdw [/mm] Re(z)>-1/2$.




>  >  Gruß leduart
>  


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Konvergenzmenge finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:11 So 06.08.2017
Autor: Herzblatt


> > > Hallo,
> > > die Menge ist nach deiner Angabe das Intervall
> > > [mm][0,\infty)\in \IR[/mm] oder [mm]\IR^+[/mm]
>  >  >  falls z [mm]\in \IR,[/mm]
>  >  >  für komplexe Zahlen macht
> ja z>0
> > keinen
> > > Sinn. kann denn z auch komplex sein oder behandelt ihr nur
> > > reelle Folgen?
>  >  z soll sogar komplex sein. Also hast du Recht und das
> war
> > wohl der Fall, dass  z=x wobei x>0 was ich da dachte. Ich
> > könnte z auch als real und Imaginärteil darstellen aber
> > weiß nicht ob mir das weiterhilft?
>  >  >   für z<0 überleg erstmal ob die Summanden eine
> > Nullfolge
> > > bilden.
>  >  Also wenn z=x und x<0 dann kann es keine Nullfolge
> sein,
> > da der Zähler immer größer ist als der Nenner....
>  
> Ja, ja, manchmal weiss man Sachen die gar nicht stimmen.  
> Schau die mal die Sache mit x=-1/4 oder x=
> -0,12345678987897 an.
>  
>
> >  Ich weiß immer noch nicht so recht wie ich vorangehen

> > soll....
>  
> Es müffelt nach geometrischer Reihe mit [mm]q=\frac{z}{z+1}[/mm],
> wobei ich davon ausgehe, dass z komplex ist.
>  
> [mm]\sum_{k \ge 0}q^k[/mm] konvergiert [mm]\gdw[/mm] |q|<1 [mm]\gdw[/mm] |z|<|z+1|  
> [mm]\gdw |z|^2<|z+1|^2.[/mm]
>  
> Wenn Du nun für komplexes w berücksichtigst, dass [mm]|w|^2=w \overline{w}[/mm]
> gilt, solltest Du kommen auf
>  
> [mm]|z|<|z+1| \gdw Re(z)>-1/2[/mm].
>  
>
>
>
> >  >  Gruß leduart

> >  

>  

Ah, super, ich hab's :-) Vielen Dank für die Hilfe!


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