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Konvergenzradius- kurzer Check: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:09 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

N'abend,

kann mal kurz wer verifizieren, dass der Konvergenzradius nach Hadamard [mm] r=\bruch{1}{limsup |a_{n}|^{\bruch{1}{n}}} [/mm] gleich 4 ist, für die um z=0 entwickelte Reihe:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)} [/mm]

Wolfram Alpha zeigt Konvergenz für |z|<2 an, deswegen bin ich etwas unsicher.

mfG.

        
Bezug
Konvergenzradius- kurzer Check: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:25 Di 19.09.2017
Autor: angela.h.b.


> N'abend,

>

> kann mal kurz wer verifizieren, dass der Konvergenzradius
> nach Hadamard [mm]r=\bruch{1}{limsup |a_{n}|^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
> gleich 4 ist, für die um z=0 entwickelte Reihe:

>

> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)}[/mm]

>

> Wolfram Alpha zeigt Konvergenz für |z|<2 an, deswegen bin
> ich etwas unsicher.

Moin,

ich denke, daß Du gezeigt hast, daß die Reihe für [mm] |z^2|<4 [/mm] konvergiert.

LG Angela
>

> mfG.


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius- kurzer Check: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

Hallo Angela,

aber das verstehe ich nicht :(

Die Koeffizienten meiner Reihe sind doch gerade gegeben durch [mm] a_{n}=(-1)^{n}(\bruch{1}{2})^{2(n+1)} [/mm]

Aber das sind anscheinend nicht die Koeffizienten der äquivalenten Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}b_{n}z^{n} [/mm]

Wie erkenne ich, was die [mm] b_{n} [/mm] in meiner Reihe sind?


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius- kurzer Check: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Di 19.09.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du kannst es Dir so überlegen:

$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{z}{2})^{2(k+1)} [/mm]

[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{1}{2})^{2k}*z^{2k} [/mm]

[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}(\bruch{1}{2})^{2k}*z^{2k} [/mm]

[mm] =(\bruch{z}{2})^2*\summe_{n=1}^{\infty}a_nz^n [/mm]

mit [mm]a_n=\begin{cases} 0, & \textrm{für } n \textrm{ ungerade} \\ (-1]^{\bruch{n}{2}}*(\bruch{1}{2})^n, & \textrm{für } n \textrm{ gerade} \end{cases}[/mm]

LG Angela

Bezug
                                
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Konvergenzradius- kurzer Check: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

Hallo Angela, vielen Dank.

Ich vergaß, dass man z in dieser Form vor die Reihe ziehen darf, es geht ja nur um die Konvergenz der übrig bleibenden Reihe.

Bezug
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