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Forum "Funktionalanalysis" - Konvergenzsatz merom. Fkt
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Konvergenzsatz merom. Fkt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mo 21.03.2016
Autor: november

Aufgabe
Es sei [mm] $\sum f_\nu$, $f_\nu \in [/mm] M(D)$ kompakt bzw. normal konvergent in $D$. Dann gibt es genau eine in $D$
meromorphe Funktion $f$ mit folgender Eigenschaft:
Ist [mm] $U\subset [/mm] D$ offen und $m$ (Index) so beschaffen, dass keine Funktion [mm] $f_\nu$, $\nu\geq [/mm] m$, einen Pol
in $U$ hat, so konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{\nu\geq m}f_\nu$ [/mm] auf $U$ von in $U$ holomorphen
Funktionen in $U$ kompakt bzw. normal konvergent gegen eine Funktion [mm] $F\in [/mm] O(U)$, sa dass
gilt [mm] \[f=f_0+f_1+\ldots+f_{m-1}+F [/mm] auf U [mm] \]. [/mm]

Ich habe diesen Satz gegeben und versuche ihn zu verstehen.
Also da ist diese kompakt oder normal konv. Reihe von meromorphen Funktionen. Dann ex. eine weitere meromorphe Funktion $f$, so dass diese auf der offenen Menge $U$ für eine bestimmte Anzahl der [mm] $f_\nu$ [/mm] keine Pole in $U$ hat.
Habe ich das richtig verstanden?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzsatz merom. Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:55 Di 22.03.2016
Autor: fred97


> Es sei [mm]\sum f_\nu[/mm], [mm]f_\nu \in M(D)[/mm] kompakt bzw. normal
> konvergent in [mm]D[/mm]. Dann gibt es genau eine in [mm]D[/mm]
> meromorphe Funktion [mm]f[/mm] mit folgender Eigenschaft:
>  Ist [mm]U\subset D[/mm] offen und [mm]m[/mm] (Index) so beschaffen, dass
> keine Funktion [mm]f_\nu[/mm], [mm]\nu\geq m[/mm], einen Pol
> in [mm]U[/mm] hat, so konvergiert die Reihe [mm]\sum_{\nu\geq m}f_\nu[/mm]
> auf [mm]U[/mm] von in [mm]U[/mm] holomorphen
> Funktionen in [mm]U[/mm] kompakt bzw. normal konvergent gegen eine
> Funktion [mm]F\in O(U)[/mm], sa dass
> gilt [mm]\[f=f_0+f_1+\ldots+f_{m-1}+F[/mm] auf U [mm]\].[/mm]
>  Ich habe diesen Satz gegeben und versuche ihn zu
> verstehen.
>  Also da ist diese kompakt oder normal konv. Reihe von
> meromorphen Funktionen. Dann ex. eine weitere meromorphe
> Funktion [mm]f[/mm], so dass diese auf der offenen Menge [mm]U[/mm] für eine
> bestimmte Anzahl der [mm]f_\nu[/mm] keine Pole in [mm]U[/mm] hat.
>  Habe ich das richtig verstanden?

Nein !

Nach Vor. haben die Funktionen [mm] f_m, f_{m+1}, [/mm] ..... in U keine Pole, sind also auf U holomorph.

Die Reihe  $ [mm] \sum_{\nu\geq m}f_\nu [/mm] $ konv. auf U kompakt bzw. normal.

nach Weierstraß ist also [mm] F:=\sum_{\nu\geq m}f_\nu [/mm] auf U holomorph.

Zeigen sollst Du: es gibt genau ein  $ f [mm] \in [/mm] M(D) $ mit

$ [mm] f=f_0+f_1+\ldots+f_{m-1}+F [/mm] $  auf U.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Konvergenzsatz merom. Fkt: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Di 22.03.2016
Autor: november

Danke für Antwort, da hab ich wohl ein wenig falsch gedacht.
Aber warum gibt es denn nur ein [mm] $f\in [/mm] M(D)$? Wie könnte man das beweisen?

Es gilt einfach, dass [mm] $f=\sum f_\nu$ [/mm] und nach Def. kompakter Konvergenz ex. ein Index $n [mm] \in \IN$, [/mm] so dass die Polstellenmenge [mm] $P(f_\nu)$ [/mm] für [mm] $\nu\ge [/mm] n$ punktfrend zu $U$ ist.

Wäre das der richtige Ansatz?


Bezug
                        
Bezug
Konvergenzsatz merom. Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:55 Di 22.03.2016
Autor: fred97


> Danke für Antwort, da hab ich wohl ein wenig falsch
> gedacht.
>  Aber warum gibt es denn nur ein [mm]f\in M(D)[/mm]? Wie könnte man
> das beweisen?

Nimm an es gäbe 2 .....

FRED


>  
> Es gilt einfach, dass [mm]f=\sum f_\nu[/mm] und nach Def. kompakter
> Konvergenz ex. ein Index [mm]n \in \IN[/mm], so dass die
> Polstellenmenge [mm]P(f_\nu)[/mm] für [mm]\nu\ge n[/mm] punktfrend zu [mm]U[/mm]
> ist.
>  
> Wäre das der richtige Ansatz?
>  


Bezug
                                
Bezug
Konvergenzsatz merom. Fkt: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Mi 23.03.2016
Autor: november

Also dann nehme ich an, ich habe zwei Funktionen [mm] $f,g\in [/mm] M(D)$. Dann ist $f$ wie gehabt und [mm] $g=g_0+g_1+\ldots+g_{m-1}+G$. [/mm] Und wie komme ich darauf, dass sie gleich sind?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzsatz merom. Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Do 24.03.2016
Autor: fred97


> Also dann nehme ich an, ich habe zwei Funktionen [mm]f,g\in M(D)[/mm].
> Dann ist [mm]f[/mm] wie gehabt und [mm]g=g_0+g_1+\ldots+g_{m-1}+G[/mm].

Dieser Ansatz ist doch Unsinn !

Nimm an, es seien $f,g [mm] \in [/mm] M(D)$ und

[mm]f_1+\ldots+f_{m-1}+F=f[/mm] auf U

und auch

[mm]f_1+\ldots+f_{m-1}+F=g[/mm] auf U.

Zeige: f=g.

Klar ist: f=g auf U.

Ist [mm] A_m [/mm] die Menge der Polstellen von [mm] f_m [/mm] in D (m [mm] \in \IN) [/mm] und [mm] A:=\bigcup_{m=1}^{\infty}A_m, [/mm] so ist zu zeigen:

   f=g auf $D [mm] \setminus [/mm] A$

FRED

> Und
> wie komme ich darauf, dass sie gleich sind?


Bezug
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