Koordinatenform zu Parameterfo < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute
ich stehe gerade total auf dem Schlauch, wie wandel ich eine Koordinatenform z.B.: 2x1+x2-3x3=3 in Parameterform um?
Wäre echt super, wenn mir das mal jemand anhand des Beispiels erklären könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Do 10.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo princefighter!
Zur Aufstellung der Parameterform der Ebene benötigst du drei Punkte, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Um drei Punkte zu finden, musst du einfach die x1,x2,x3 so wählen, dass die Koordinatengleichung erfüllt ist. Dann liegt der Punkt (x1,x2,x3) auf der durch sie beschriebenen Ebene. Du suchst dir also drei solcher Tripel und hast, wenn die gefundenen Punkte nicht unglücklicherweise auf einer Geraden liegen, drei Punkte, mit denen du leicht die Parameterdarstellung der Ebene herleiten kannst.
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi, princefighter,
bei Hannos Methode ist es günstig, die Punkte (wenn möglich!) so zu wählen, dass jeweils 2 der 3 Koordinaten =0 sind.
In Deinem Beispiel: A(1,5; 0; 0), B(0; 3; 0) und C(0; 0; -1).
Daraus bildest Du auf übliche Weise die PF.
Eine weitere Methode wäre, dass Du nur einen Punkt (wie oben) suchst, z.B. A und die Richtungsvektoren als (beliebige!) Senkrechte zum Normalenvektor, hier [mm] \vektor{2\\1\\-3}, [/mm] bestimmst.
Dazu kannst Du z.B. eine der Koordinaten =0 setzen, die andern beiden vertauschen und eine davon mit (-1) multiplizieren. Dann kriegst Du z.B.:
[mm] \vektor{1\\-2\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\3\\1} [/mm] als brauchbare Richtungsvektoren Deiner Ebene.
mfG!
Zwerglein
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Estmal danke für die Antworten.
Habe nur zu Zwergleins Verfahren eine Frage, die Form die du angegeben hast, ergibt aber 0=3 immer, muss ich die dritte Koordinate dann nicht so wählen dass 3=3 bzw 0=0 raus kommt? Sonst habe ich ja eine falsche Aussage.
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Hi, princefighter,
soll ich ehrlich sein? Ich versteh' die Frage nicht!
Könntest Du sie nochmals "umformulieren"?
Wo siehst Du z.B. 0=3?
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Wenn ich die Punkte die du mir nennst ( in die Koordinatenform einsetzt, müsste doch eine wahre Aussage für die Gleichung raus kommen oder?
In unserem Beispiel habe ich:
2x1+x2-3x3=3 als Ausgangsgleichung
wenn ich dann (1;-2;0) einsetzt erhalte ich:
2*1-2-3*0=3 ==> 0=3
und dies ist ja eine Falsche Aussage. Sprich der Punkt liegt nicht in der Ebene so wie ich das sehen oder? Und kann daher auch kein Richtungsvektor sein oder?
Hoffe du verstehst meine Frage jetzt.
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 12.03.2005 | | Autor: | McBlack |
Hallo Stephan!
Ich hätte eine andere Methode um auf die Parametergleichung zu kommen.
Wir haben diese Normalengleichung der Ebene:
[mm] 2x_1+x_2-3x_3-3=0 [/mm]
Wir lösen nun nach [mm] x_2 [/mm] auf:
[mm] x_2=-2x_1+3x_3+3 [/mm]
Nun setzen wir [mm] x_1=\sigma [/mm] und [mm] x_3= \lambda [/mm]
Für [mm] x_2 [/mm] ergibt sich:
[mm] x_2=-2\sigma+3\lambda+3 [/mm]
Daraus lässt sich nun die Parametergleichung der Ebene aufstellen:
E:[mm] x=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \sigma \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Gruß McBlack
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Hi, princefighter,
erst mal lesen lernen!
> Wenn ich die Punkte die du mir nennst ( in die
> Koordinatenform einsetzt, müsste doch eine wahre Aussage
> für die Gleichung raus kommen oder?
>
> In unserem Beispiel habe ich:
> 2x1+x2-3x3=3 als Ausgangsgleichung
>
> wenn ich dann (1;-2;0) einsetzt erhalte ich:
Habe ich das als "Punkt" bezeichnet???!!!
Never, nie, zu keiner Zeit, njet, wie käm' ich dazu, superfalsch, um nicht zu sagen: Käse, Schmarrn, Unfug, ... Denk' Dir selber noch was aus!
Es stand dort, deutlich lesbar, unter notarieller Beglaubigung, für jeden nachvollziehbar:
RICHTUNGSVEKTOREN, auf Deutsch: Rightingvectors, auf Französisch: vectors de direction, auf Russisch Vektore Wolgograd, auf Chinesisch weiß ich's nicht!
Spaß beiseite! Nochmal drüber nachdenken!
Otti Fischer: Mehr sog' i' net!
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Hi
Ok ich habe es verstanden, hab das mit dem Punkt A überlesen und vergessen den wieder dazu zu addieren um auf den Punkt zu kommen.
Sorry habe Richtungsvektor überlesen.
Danke für die Mühe
Gruß Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, princefighter,
nix für ungut:
Manchmal nutz' ich einfach die Gelegenheit, um mich auszutoben!
Bringt's echt voll!
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