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Koordinatentransformation,Bew: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:24 Mo 14.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Koordinatentransformation:
Wir schauen uns Differentialgleichungen der Form [mm] \frac{dx}{dt}= [/mm] f(t,x) an.
Durch t= [mm] \tau(s), [/mm] x= [mm] \epsilon(x,y) [/mm] wobei [mm] \tau, \epsilon [/mm] Diffeomorphismen sind, ( invertieren s= [mm] \sigma(t), [/mm] y= [mm] \eta [/mm] (t,x)), möge eine Variablentransformation gegeben sein.
[mm] \phi(t) [/mm] ist genau dann eine Lösung der Dgl x'=f(t,x) wenn [mm] \psi(s)= \eta( \tau(s), \phi(\tau(s))) [/mm] erfüllt
y'= [mm] \tau' [/mm] ( [mm] \frac{\partial \eta}{\partial t} [/mm] ( [mm] \tau, \epsilon) [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial x} (\tau, \epsilon) f(\tau, \epsilon)), [/mm]
mit [mm] \tau=\tau(s) [/mm] und [mm] \epsilon= \epsilon(s,y). [/mm]

Diese Formeln sind meistens nur von kleiner hilfe für praktische Berechnungen und es ist besser die simple aber nicht eindeutge Notation zu nutzen:
[mm] \frac{dy}{ds} [/mm] = [mm] \frac{ d y(t(s),x(t(s)))}{ds}= \frac{\partial y}{\partial t} \frac{dt}{ds} [/mm] + [mm] \frac{\partial y}{\partial s} \frac{dx}{dt} \frac{dt}{ds} [/mm]


Hallo,
Der Beweis des Satzes soll nur einer Anwendung der Kettenregel sein. Den Beweis hab ich jedoch noch nicht hinbekommen.

Frage: Wird in

> y'= [mm] \tau' [/mm] ( [mm] \frac{\partial \eta}{\partial t} [/mm] ( [mm] \tau, \epsilon) [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial x} (\tau, \epsilon) f(\tau, \epsilon)) [/mm]

Die Ableitung von [mm] \tau [/mm] auf  [mm] \frac{\partial \eta}{\partial t} [/mm] ( [mm] \tau, \epsilon) [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial x} (\tau, \epsilon) f(\tau, \epsilon) [/mm] ausgewertet? Oder ist das als Multiplikation zu verstehen? Da ja auch [mm] \tau [/mm] ohne seine Argumente jeweils angeführt wird.


Mit der mehrdimensionalen Kettenregel bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \frac{\partial \psi}{\partial s} =\frac{d}{ds}\eta( \tau(s), \phi(\tau(s)))=\frac{\partial \eta}{\partial \tau}(\tau(s), [/mm] x) [mm] \frac{d \tau}{ds} [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial \phi}(t,\phi(\tau(s))) \frac{\partial \phi}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial s}=... [/mm]
Nun setz ich die Transformation ein:
[mm] ...=\frac{\partial \eta}{\partial \tau}(\tau(s), \epsilon(s,y)) \frac{d \tau}{ds} [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial \phi}(\tau(s),\phi(\tau(s))) \frac{\partial \phi}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial s} [/mm]

Ist [mm] \phi(t) [/mm] eine Lösung der Dgl müsste doch [mm] \frac{\partial \phi}{\partial \tau} \frac{\partial \tau}{\partial s}= f(\tau(s),\epsilon(s,y)) [/mm] sein.
Und es ergibt sich:
[mm] \frac{\partial \psi}{\partial s}=\frac{\partial \eta}{\partial \tau}(\tau(s), \epsilon(s,y)) \frac{d \tau}{ds} [/mm] + [mm] \frac{\partial \eta}{\partial \phi}(\tau(s),\phi(\tau(s))) f(\tau(s),\epsilon(s,y)) [/mm]

Frage:
Wie kommt die untere Notation zustande und wie kommt man auf diese?
Ich verstehe die Zusammenhänge gar nicht.

Bin auch dankbar für einen Literaturtipp indem das erklärt wird!

        
Bezug
Koordinatentransformation,Bew: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 21.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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