Koprime Ideale < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 06.12.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die beiden Ideale I = (x-7), J = [mm] (x^{2}+3) \subset \IC [/mm] [x] koprim sind. Bestimmen Sie das Polynom kleinsten Grades h [mm] \in \IC [/mm] [x] mit der Eigenschaft, dass h + I = I und h + J = 1 + J.
b) Der Kleinstaat Fabelland mit 33333 Einwohnern hat eine eigene Armee. Bei Übungs-märschen geht man in 5er-Reihen – dann gehen genau 4 Offiziere an der Spitze.
Bei Paraden wird in 8er-Reihen marschiert – dann ist vorne das 5-köfige Musikkorps.
Beim jährlichen Manöver gehen alle in 7er-Reihen, und es bleiben genau 3 Mann zum Ziehen der einzigen Kanone Fabellands übrig.
Als einmal ein hoher Staatsbesuch kam, stellte man sich in 9er-Reihen vor dem Bahnhof auf, wobei der General und der Trompeter an der Spitze waren.
In der Verfassung des Landes steht, dass höchstens
10% aller Einwohner von Fabelland in der Armee sein dürfen.
Die Frage ist nun, wie viele Soldaten Fabelland hat. |
Guten Abend,
ich soll diese Aufgabe lösen und habe mir bisher folgendes dazu überlegt:
zu a): Man soll ja zeigen, dass I + J = (1), das heißt für x [mm] \in [/mm] I und y [mm] \in [/mm] J [mm] \Rightarrow [/mm] x+y = 1.
Soll ich jetzt einfach beliebige Elemente aus I und J nehmen und zeigen, dass die Summe von den beiden 1 ist?
Also ich habe dann mal [mm] x-7+x^{2}+3=1 [/mm] gerechnet. Dann kommt als Resultat [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{17}}{2} [/mm] raus. Heißt das jetzt, das für diese [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] I und J korpim sind?
zu b):
Wenn man sich das formal aufschreibt kriegt man das folgende Gleichungssystem:
a = 5b + 4
a = 8b' + 5
a = 7b'' + 3
a = 9b''' + 2
und außerdem a [mm] \le [/mm] 3333 (wegen den 10% von 33333).
Wie kann man dieses Gleichungssystem nun lösen? Es gibt ja mehr Unbekannte als Gleichungen, das heißt man muss eine der Unbekannten als Parameter setzen. Ich habe das mal mit a versucht. Dann erhält man folgendes Gleichungssystem:
b = [mm] \bruch{a-4}{5}
[/mm]
b' = [mm] \bruch{a-5}{8}
[/mm]
b'' = [mm] \bruch{a-3}{7}
[/mm]
b''' = [mm] \bruch{a-2}{9}
[/mm]
Man könnte jetzt einfach anfangen, Zahlen von 3333 an abwärts einzusetzen und zu gucken wann jedes b eine natürliche Zahl ist, aber ich glaube nicht, dass das der Sinn der Aufgabe ist. Allerdings weiß ich im Moment auch keine nützliche Methode, um das auszurechnen. Kann mir da jemand helfen?
LG, MinLi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 So 06.12.2015 | | Autor: | hippias |
> a) Zeigen Sie, dass die beiden Ideale I = (x-7), J =
> [mm](x^{2}+3) \subset \IC[/mm] [x] koprim sind. Bestimmen Sie das
> Polynom kleinsten Grades h [mm]\in \IC[/mm] [x] mit der Eigenschaft,
> dass h + I = I und h + J = 1 + J.
>
> b) Der Kleinstaat Fabelland mit 33333 Einwohnern hat eine
> eigene Armee. Bei Übungs-märschen geht man in 5er-Reihen
> – dann gehen genau 4 Offiziere an der Spitze.
> Bei Paraden wird in 8er-Reihen marschiert – dann ist
> vorne das 5-köfige Musikkorps.
> Beim jährlichen Manöver gehen alle in 7er-Reihen, und es
> bleiben genau 3 Mann zum Ziehen der einzigen Kanone
> Fabellands übrig.
> Als einmal ein hoher Staatsbesuch kam, stellte man sich in
> 9er-Reihen vor dem Bahnhof auf, wobei der General und der
> Trompeter an der Spitze waren.
> In der Verfassung des Landes steht, dass höchstens
> 10% aller Einwohner von Fabelland in der Armee sein
> dürfen.
> Die Frage ist nun, wie viele Soldaten Fabelland hat.
> Guten Abend,
>
> ich soll diese Aufgabe lösen und habe mir bisher folgendes
> dazu überlegt:
>
> zu a): Man soll ja zeigen, dass I + J = (1), das heißt
> für x [mm]\in[/mm] I und y [mm]\in[/mm] J [mm]\Rightarrow[/mm] x+y = 1.
> Soll ich jetzt einfach beliebige Elemente aus I und J
> nehmen und zeigen, dass die Summe von den beiden 1 ist?
> Also ich habe dann mal [mm]x-7+x^{2}+3=1[/mm] gerechnet. Dann kommt
> als Resultat [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{1 \pm \wurzel{17}}{2}[/mm] raus.
> Heißt das jetzt, das für diese [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] I und J
> korpim sind?
Nein, das heisst es nicht, denn das Polynom auf der linken Seite der Gleichung ist ungleich dem auf der rechten Seite.
Du kannst die Darstellung der $x$ und $y$ durch herumprobieren finden. Es ginge auch mit den Euklidischen Algorithmus.
>
>
> zu b):
> Wenn man sich das formal aufschreibt kriegt man das
> folgende Gleichungssystem:
>
> a = 5b + 4
> a = 8b' + 5
> a = 7b'' + 3
> a = 9b''' + 2
>
> und außerdem a [mm]\le[/mm] 3333 (wegen den 10% von 33333).
>
> Wie kann man dieses Gleichungssystem nun lösen? Es gibt ja
> mehr Unbekannte als Gleichungen, das heißt man muss eine
> der Unbekannten als Parameter setzen. Ich habe das mal mit
> a versucht. Dann erhält man folgendes Gleichungssystem:
>
> b = [mm]\bruch{a-4}{5}[/mm]
> b' = [mm]\bruch{a-5}{8}[/mm]
> b'' = [mm]\bruch{a-3}{7}[/mm]
> b''' = [mm]\bruch{a-2}{9}[/mm]
>
> Man könnte jetzt einfach anfangen, Zahlen von 3333 an
> abwärts einzusetzen und zu gucken wann jedes b eine
> natürliche Zahl ist, aber ich glaube nicht, dass das der
> Sinn der Aufgabe ist. Allerdings weiß ich im Moment auch
> keine nützliche Methode, um das auszurechnen. Kann mir da
> jemand helfen?
Tip: Chinesischer Restesatz.
>
> LG, MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 07.12.2015 | | Autor: | MinLi |
a) Ich würde das dann folgendermaßen mit euklidischen Algorithmus zeigen. Also, ich setze [mm] x^{2} [/mm] + 3 =:a und b:= x - 7? Dann wäre q=x+7 und r=52, mit Polynomdivision.
[mm] \Rightarrow [/mm] b = q'r + r'
[mm] \Rightarrow [/mm] x - 7 = q'*52 + r'
[mm] \Rightarrow [/mm] q'= [mm] \bruch{1}{52} [/mm] x und r'=7 und es gilt: ggT(a,b) = ggT(b,r) = ggT(r,r')
[mm] \Rightarrow [/mm] r = q''*r' + r''
[mm] \Rightarrow [/mm] 52 = 7*7 + 3 und es gilt ggT(a,b) = ggT(7,3)
[mm] \Rightarrow [/mm] 7 = 2*3 + 1
[mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b) = ggT(7,3) = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] I und J sind koprim.
Stimmt das so?
Um das h zu finden, setze ich dann beliebige Polynome ein und versuche eins zu finden das passt oder kann man das auch mit dem euklidischen Algorithmus berechnen?
b) Wenn ich den chinesischen Restsatz hier anwende, gilt:
a = 4 mod5
a = 5 mod8
a = 3 mod7
a = 2 mod9
Es gilt außerdem, dass 5, 8, 7, 9 alle teilerfremd sind.
[mm] \Rightarrow [/mm] y = a + m*kgV(5,7,8,9) wobei y die Lösungen der Kongruenzen sind und m [mm] \in \IZ [/mm] .
[mm] \Rightarrow [/mm] y = a + 1*2520, da kgV(5,7,8,9) = 2520 und m = 1; da für m > 1 folgt, dass y > 3333.
Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz wie y aussieht, weil dafür muss man auf der rechten Seite der Gleichung noch + a rechnen, aber ich weiß hier doch gar nicht was a ist, oder habe ich was falsch verstanden?
LG,
MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mo 07.12.2015 | | Autor: | hippias |
> a) Ich würde das dann folgendermaßen mit euklidischen
> Algorithmus zeigen.
Was willst Du damit zeigen?!
> Also, ich setze [mm]x^{2}[/mm] + 3 =:a und b:= x
> - 7? Dann wäre q=x+7 und r=52, mit Polynomdivision.
> [mm]\Rightarrow[/mm] b = q'r + r'
> [mm]\Rightarrow[/mm] x - 7 = q'*52 + r'
> [mm]\Rightarrow[/mm] q'= [mm]\bruch{1}{52}[/mm] x und r'=7 und es gilt:
> ggT(a,b) = ggT(b,r) = ggT(r,r')
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] r = q''*r' + r''
> [mm]\Rightarrow[/mm] 52 = 7*7 + 3 und es gilt ggT(a,b) =
> ggT(7,3)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 7 = 2*3 + 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b) = ggT(7,3) = 1
Richtig. Wobei ich vermute, dass Du es aus falschen Gründen gefolgert hast.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] I und J sind koprim.
>
> Stimmt das so?
Du hast gesagt, dass Du $I+J=(1)$ zeigen musst. Was ist damit? Kennst Du einen Satz der einen Zusammenhang zwischen einem ggT und Koprim herstellt?
>
> Um das h zu finden, setze ich dann beliebige Polynome ein
> und versuche eins zu finden das passt oder kann man das
> auch mit dem euklidischen Algorithmus berechnen?
Ausprobieren geht natürlich immer. Wie es mit dem euklidischen Algorithmus hast Du vermutlich in der Vorlesung gelernt. Oder hast Du eine konkrete Frage?
>
>
>
> b) Wenn ich den chinesischen Restsatz hier anwende, gilt:
>
> a = 4 mod5
> a = 5 mod8
> a = 3 mod7
> a = 2 mod9
> Es gilt außerdem, dass 5, 8, 7, 9 alle teilerfremd sind.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = a + m*kgV(5,7,8,9) wobei y die Lösungen
> der Kongruenzen sind und m [mm]\in \IZ[/mm] .
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = a + 1*2520, da kgV(5,7,8,9) = 2520 und m =
> 1; da für m > 1 folgt, dass y > 3333.
>
> Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz wie y aussieht,
> weil dafür muss man auf der rechten Seite der Gleichung
> noch + a rechnen, aber ich weiß hier doch gar nicht was a
> ist, oder habe ich was falsch verstanden?
Das ergibt doch keinen Sinn. Wie lautet der Chinesische Restsatz?
>
> LG, MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Di 08.12.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich will zeigen, dass I und J koprim sind.
Wir haben in der VL keinen Satz, der den ggT und koprime Ideale zusammenführt. Das heißt ich kann nicht folgern, dass ggT(a,b)=1, und dass deshalb x*a +y*b = 1 gilt, für x, y [mm] \in \IZ [/mm] , und dass somit schon gilt, dass I und J koprim sind? Ich dachte das wäre genau die Definition von koprim, da x*a [mm] \in [/mm] I und y*b [mm] \in [/mm] J.
Wie man h mit dem euklidischen Algorithmus rausfinden kann sehe ich nicht so richtig... Der euklidische Algorithmus berechnet ja den ggT von zwei Zahlen. Ist h dann in diesem Fall der ggT von I und J+1? Aber das würde doch nicht viel Sinn machen, weil J + h = J + 1, das würde ja nur Sinn ergeben, wenn h = J + 1 oder?
Der chinesische Restsatz lautet:
Seien [mm] a_{1}, a_{2} \in \IZ, d_{1}, d_{2} \in \IZ [/mm] /{0}, s.d. [mm] ggT(d_{1},d_{2})=1.
[/mm]
Dann gibt es ein b [mm] \in \IZ, [/mm] so dass
b [mm] \equiv a_{1} [/mm] mod [mm] d_{1}
[/mm]
b [mm] \equiv a_{2} [/mm] mod [mm] d_{2}
[/mm]
Jede weitere Lösung y der simultanen Kongruenz ist von der Form:
y = b + [mm] m*kgV(d_{1},d_{2})
[/mm]
= b + [mm] m*d_{1}*d_{2} [/mm] für ein m [mm] \in \IZ
[/mm]
Ich habe nun im Beweis gelesen, dass zu [mm] ggT(d_{1},d_{2})=1 \exists [/mm] x,y [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] x*d_{1} [/mm] + [mm] y*d_{2} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow x*d_{1} \equiv [/mm] mod [mm] d_{2}
[/mm]
[mm] y*d_{2} \equiv [/mm] mod [mm] d_{1}
[/mm]
Setze nun b = [mm] a_{2}*x*d_{1} [/mm] + [mm] a_{1}*x*d_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b löst die simultane Kongruenz.
Nun habe ich das an meinem Beispiel hier angewendet:
Es gilt: 1 = (-1)*5 + 1*8 + 1*7 + (-1)*9
[mm] \Rightarrow [/mm] -5+7+8 = 10 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 9
-5+8-9 = -6 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 7
-5+7-9 = -7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 8
7+8-9 = 6 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 4*(7+8-9) + 5*(-5+7-9) + 3*(-5+8-9) + 2*(-5+7+8)
= -9
Mit dem chinesischen Restsatz folgt nun: y = -9 + 2520 = 2511
Aber das stimmt noch immer nicht, denn 2511 [mm] \equiv [/mm] 1 mod5 und nicht 4.
Habe ich mich irgendwo verrechnet oder macht das ganze wieder keinen Sinn?
LG, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mi 09.12.2015 | | Autor: | hippias |
Hallo MinLi,
was mich stört, ist der gelegentliche Eindruck, dass Du überhaput nicht vorbereitet bist, sondern erst einmal fragst. In diesem Sinne möchte ich Dich nicht entmutigen, sondern vielmehr ermutigen Dich intensiv mit der Vorlesung auseinanderzusetzen, damit Du den Anschluss nicht verlierst. Das bedeutet zwar anfangs gewaltigen Aufwand, der sich aber auszahlt. Denn wenn Du gewisse Grundlagen geschaffen hast, dann werden die nachfolgenden Probleme leichter zu lösen sein.
> Ich will zeigen, dass I und J koprim sind.
>
> Wir haben in der VL keinen Satz, der den ggT und koprime
> Ideale zusammenführt. Das heißt ich kann nicht folgern,
> dass ggT(a,b)=1, und dass deshalb x*a +y*b = 1 gilt, für
> x, y [mm]\in \IZ[/mm] , und dass somit schon gilt, dass I und J
> koprim sind? Ich dachte das wäre genau die Definition von
> koprim, da x*a [mm]\in[/mm] I und y*b [mm]\in[/mm] J.
Doch genauso kannst Du argumentieren. Doch frage ich mich, wenn Dir das alles klar ist, wo eigentlich Dein Problem ist.
>
> Wie man h mit dem euklidischen Algorithmus rausfinden kann
> sehe ich nicht so richtig... Der euklidische Algorithmus
> berechnet ja den ggT von zwei Zahlen. Ist h dann in diesem
> Fall der ggT von I und J+1?
Wie Du schon richtig bemerkt hast: Du berechnest nicht den ggT von Nebenklassen von Idealen.
> Aber das würde doch nicht viel
> Sinn machen, weil J + h = J + 1, das würde ja nur Sinn
> ergeben, wenn h = J + 1 oder?
$h=J+1$? Das Polynom $h$ ist gleich einer Nebenklassen des Ideals $J$? Wohl kaum.
Obwohl ich mir absolut sicher bin, dass euch gezeigt wurde, wie man zu teilerfremden $a$ und $b$ passende $x$ und $y$ bestimmt, sodass $ax+by=1$ gilt, werde ich es Dir vorführen.
Seien $a:= [mm] t^3-2$ [/mm] und $b:= [mm] t^2+1$ [/mm] Elemente eines Polynomringes über [mm] $\IC$ [/mm] mit der Unbestimmten $t$.
Es gilt $a= tb-t-2$ und $b=(-t+2)(-t-2)+5$.
Der Grad des konstanten Polynoms $5$ ist $0$, sodass der euklidische Algorithmus jetzt abbricht. Der ggT von $a$ und $b$ ist das in [mm] $\IC[/mm] [t]$ invertierbare Polynom $5$.
Jetzt forme ich die Gleichungen um: $5= b-(-t+2)(-t-2)$ und $-t-2=a-tb$. Die letzte in die erste Gleichung eingesetzt liefert $5=b-(-t+2)(a-tb)= b- (-t+2)a+t(-t+2)b= - (-t+2)a+(1-t(-t+2))b$. Division mit $5$ liefert $1= xa+yb$, wobei $x= [mm] -\frac{1}{5}(-t+2)$ [/mm] und $y= [mm] \frac{1}{5}(1-t(-t+2))$ [/mm] Polynome aus [mm] $\IC[/mm] [t]$ sind.
Beachte vor allen Dingen auch, dass $5$ im Ring [mm] $\IC[/mm] [t]$ nicht prim ist, sondern eine Einheit. Ringelemente, deren ggT eine Einheit sind heissen teilerfremd.
>
>
>
> Der chinesische Restsatz lautet:
> Seien [mm]a_{1}, a_{2} \in \IZ, d_{1}, d_{2} \in \IZ[/mm] /{0},
> s.d. [mm]ggT(d_{1},d_{2})=1.[/mm]
> Dann gibt es ein b [mm]\in \IZ,[/mm] so dass
> b [mm]\equiv a_{1}[/mm] mod [mm]d_{1}[/mm]
> b [mm]\equiv a_{2}[/mm] mod [mm]d_{2}[/mm]
> Jede weitere Lösung y der simultanen Kongruenz ist von
> der Form:
> y = b + [mm]m*kgV(d_{1},d_{2})[/mm]
> = b + [mm]m*d_{1}*d_{2}[/mm] für ein m [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Ich habe nun im Beweis gelesen, dass zu [mm]ggT(d_{1},d_{2})=1 \exists[/mm]
> x,y [mm]\in \IZ[/mm] : [mm]x*d_{1}[/mm] + [mm]y*d_{2}[/mm] = 1
> [mm]\Rightarrow x*d_{1} \equiv[/mm] mod [mm]d_{2}[/mm]
> [mm]y*d_{2} \equiv[/mm] mod [mm]d_{1}[/mm]
> Setze nun b = [mm]a_{2}*x*d_{1}[/mm] + [mm]a_{1}*x*d_{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] b löst die simultane Kongruenz.
>
> Nun habe ich das an meinem Beispiel hier angewendet:
>
> Es gilt: 1 = (-1)*5 + 1*8 + 1*7 + (-1)*9
> [mm]\Rightarrow[/mm] -5+7+8 = 10 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 9
> -5+8-9 = -6 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 7
> -5+7-9 = -7 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 8
> 7+8-9 = 6 [mm]\equiv[/mm] 1 mod 5
> [mm]\Rightarrow[/mm] a = 4*(7+8-9) + 5*(-5+7-9) + 3*(-5+8-9) +
> 2*(-5+7+8)
> = -9
>
> Mit dem chinesischen Restsatz folgt nun: y = -9 + 2520 =
> 2511
>
> Aber das stimmt noch immer nicht, denn 2511 [mm]\equiv[/mm] 1 mod5
> und nicht 4.
>
> Habe ich mich irgendwo verrechnet oder macht das ganze
> wieder keinen Sinn?
Das macht schon Sinn, funktioniert so aber eben nur, wenn Du $2$ Kongruenzen hast. Bei mehr als $2$ Kongruenzen musst Du die vorgehensweise dahingehend anpassen.
Auch hier findest Du vermutlich Beispiele im Skript bzw. in Lehrbüchern. Trotzdem ausnahmsweise ein Beispiel:
[mm] $x\equiv a_{1} \mod [/mm] 3$, [mm] $x\equiv a_{2} \mod [/mm] 4$ und [mm] $x\equiv a_{3} \mod [/mm] 5$.
Es ist $1= [mm] 7\cdot 3-4\cdot [/mm] 5$, also [mm] $-20\equiv 1\mod [/mm] 3$, [mm] $-20\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 4$ und [mm] $-20\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 5$.
Weiter so: Es ist $1= [mm] 4\cdot 4-3\cdot [/mm] 5$, also [mm] $-15\equiv 1\mod [/mm] 4$, [mm] $-15\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 3$ und [mm] $-15\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 5$.
Schliesslich: Es ist $1= [mm] 5\cdot 5-2\cdot 3\cdot [/mm] 4$, also [mm] $-24\equiv 1\mod [/mm] 5$, [mm] $-24\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 3$ und [mm] $-24\equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 4$.
Eine Lösung der Kongruenz ergibt sich nun durch $x= [mm] -20a_{1}-15a_{2}-24a_{3}$. [/mm] Weitere Lösungen erhälst durch Addition des kgV.
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>
> LG, MinLi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mi 09.12.2015 | | Autor: | MinLi |
Unsere Vorlesung finde ich sehr durcheinander und nicht gut strukturiert, deshalb komme ich damit nicht gut klar. Ich setze mich in den Weihnachtsferien in die Unibib und lese mir den Stoff in verschiedenen Algebrabüchern durch und setze mich dann damit auseinander, ich hoffe, dass ich die Vorlesung dann besser verstehe.
Die a) sehe ich mir heute Abend noch mal in Ruhe an, konnte die jetzt nur überfliegen.
Zur b) hat unser Tutor uns heute Morgen auch ein ähnliches Beispiel wie deins geschickt, weil er meint, dass der Dozent das in der Vorlesung nicht ausreichend behandelt hat und dass wir die Aufgabe mit der Vorlesung nicht lösen können.
Vielen Dank für deine Hilfe,
LG, MinLi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 09.12.2015 | | Autor: | MinLi |
Hallo,
ich habe jetzt fast alles verstanden, abgesehen von deinem Beispiel zu a). Ich verstehe nicht wie mir das dabei helfen kann, dieses h zu bestimmen. In deinem Beispiel kriegst du ganz zum Schluss zwei Polynome aus [mm] \IC[x] [/mm] raus, nämlich x und y. Wenn man das analog ausrechnet kriegt man ja immer zwei verschiedene Polynome x und y raus, aber ich dachte bei der Aufgabe geht es darum ein einziges h zu finden. Und du schreibst der ggT(a,b) ist das in [mm] \IC[x] [/mm] invertierbare Polynom 5, allerdings dachte ich dass in meinem Fall ggT(a,b)=1, so wie ich es oben ausgerechnet habe, da a [mm] \in [/mm] I und b [mm] \in [/mm] J und I und J koprim.
MfG, MinLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Do 10.12.2015 | | Autor: | hippias |
Das ist kein Problem: wenn Du $ax+by=1$ gefunden hast, dann setze etwa $h=ax(=1-by)$. Versuche Dir zu überlegen, dass $h$ die geforderten Eigenschaften hat.
Wegen des ggT's: Sieh Dir nocheinmal die Definition an. Ein ggT ist nur bis auf Vielfaches mit einer Einheit bestimmt: ist $d$ ein ggT, dann ist für jede Einheit $u$ auch $ud$ ein ggT.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Do 10.12.2015 | | Autor: | MinLi |
Ok, jetzt habe ich das auch verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld.
LG, MinLi
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