matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-StochastikKorrelationsfunktion Beweis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Stochastik" - Korrelationsfunktion Beweis
Korrelationsfunktion Beweis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Korrelationsfunktion Beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:16 Mo 10.10.2016
Autor: Jellal

Guten Abend,

ich habe in einem Buch zur theoretischen Physik eine Aussage gefunden, die ich nicht bewiesen bekomme.

Seien [mm] E^{+}(x) [/mm] und [mm] E^{-}(x) [/mm] zwei von Variable x abhängige, zueinander adjungierte Operatoren.

Die Korrelationsfunktion sei definiert durch:

[mm] G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n})= Tr(\rho*E^{-}(x_{1})...E^{-}(x_{n})*E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n})) [/mm]

mit einem Dichteoperator [mm] \rho. [/mm]

Ausgehend von [mm] Tr(\rho*A^{\dagger}*A)\ge [/mm] 0 und mit der Wahl [mm] A=a_{1}E^{+}(x_{1})...E^{+}(x_{n})+a_{2}E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n}), a_{i}\in\IC [/mm] beliebig, soll gezeigt werden:

[mm] G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n}...x_{1})G^{n}(x_{n+1}...x_{2n},x_{2n}...x_{n+1}) \ge |G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n})|^{2} [/mm]

Ertstmal schreibe ich [mm] A^{\dagger} [/mm] auf:

[mm] A^{\dagger}=a_{1}^{\*}E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})+a_{2}^{\*}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1}) [/mm]

[mm] \Rightarrow A^{\dagger}*A= [/mm]
[mm] a_{1}^{\*}*a_{1}*E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{1})...E^{+}(x_{n}) [/mm]
+ [mm] a_{1}^{\*}*a_{2}E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n}) [/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{1}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1})E^{+}(x_{1})E^{+}(x_{n}) [/mm]
[mm] +a_{2}^{/*}*a_{2}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1})E^{+}(x_{n+1})E^{+}(x_{2n}) [/mm]

[mm] \ge [/mm] 0

Zieht man nun die Spur und wendet die Definition der Korrelatorfunktion an, ergibt sich:

[mm] Tr(\rho*A^{\dagger}*A) [/mm]
= [mm] a_{1}^{\*}*a_{1}*G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n}) [/mm]
+ [mm] a_{1}^{\*}*a_{2}*G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n}) [/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{1}*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n}) [/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{2}*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n}) [/mm]
[mm] \ge [/mm] 0

Das kann man als positive Definitheit der Matrix G auffassen: [mm] a^{T}*G*a \ge [/mm] 0.
Dann ist auch det(G) [mm] \ge [/mm] 0:

det(G)= [mm] G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n}) [/mm] - [mm] G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n}) \ge [/mm] 0

[mm] \rightarrow G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n}) \ge G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n}) [/mm] = [mm] |G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n})|^{2} [/mm]

wobei im letzten = genutzt wurde, dass [mm] (G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n}))^{\*}=G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n}...x_{1}) [/mm]

Bei mir sind die Variablen in den [mm] G^{n} [/mm] also in anderer Reihenfolge als in der Aussage oben :(
Die Reihenfolge darf doch nicht beliebig geändert werden, da die Operatoren doch nicht zwangsweise kommutieren...

Habe ich irgendwas übersehen?


Danke für jeden, der sich Zeit nimmt!

Jellal



        
Bezug
Korrelationsfunktion Beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:00 Sa 15.10.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]