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Kplx Zahlen grafisch?: TI-83-Plus
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Mo 21.07.2014
Autor: egal

Hallo,

ist es möglich mit dem TI-82 Plus komplexe Zahlen in der Gauß´schen Zahlenebene graphisch darstellen zu können oder kann ich mit komplexen Zahlen nur rechnen??
Das Handbuch gibt dafür leider keinen Rat....

Besten Dank



        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:13 Di 22.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> ist es möglich mit dem TI-82 Plus komplexe Zahlen in der
> Gauß´schen Zahlenebene graphisch darstellen zu können
> oder kann ich mit komplexen Zahlen nur rechnen??
> Das Handbuch gibt dafür leider keinen Rat....

ich kenne den Taschenrechner jetzt nicht, aber jede komplexe Zahl

    $z=x+i*y$ ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm]

kannst Du doch einfach als $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] auffassen. (Und selbst Polarkoordinatendarstellung
ist damit doch einfach.)
Aber das nur als "mathematischer Hinweis" (Koordinaten sind ablesbar!) -
ich denke doch schon, dass Du den Realteil und den Imaginärteil einer
komplexen Zahl ablesen kannst (bzw., wenn da *Rechenoperationen* mit
drin stecken, dass Du das dann am Ende entsprechend umformen kannst),
oder dass Dir (siehe den Hinweis mit den *Umformungen*) der TR den
Real- und Imaginärteil auch ausspuckt [mm] ($x=\text{Re}(z)\,,$ $y=\text{Im}(z)$). [/mm]

Aber hast Du auch mal ein konkretes Bsp.?

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Di 22.07.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ist es möglich mit dem TI-82 Plus komplexe Zahlen in der
> Gauß´schen Zahlenebene graphisch darstellen zu können
> oder kann ich mit komplexen Zahlen nur rechnen??
> Das Handbuch gibt dafür leider keinen Rat....
>  
> Besten Dank


Hallo

im  Prinzip ist es sicher möglich, da der Rechner es erlaubt,
Punkte in einer x-y-Ebene darzustellen. Ob er dazu einge-
richtet ist, auf nützliche Weise mit komplexen Zahlen
grafisch umzugehen, weiß ich aber nicht. Es ist schon einige
Zeit her, seit ich mit TI-83 oder TI-84 auch zu tun hatte.
wie schon Marcel gesagt hat, wäre es nützlich, zu
erfahren (anhand eines Beispiels), was du denn so erwartest.

LG, Al-Chw.


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Kplx Zahlen grafisch?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:23 Di 22.07.2014
Autor: egal

Aufgabe
Überprüfe das verbesserte Eulververfahren auf A-Stabilität und gebe den Stabilitätsbereich an

Der Stabilitätsbereich wäre damit nach der Umformung:

[mm] |p(a)|=|1+a+\bruch{a^2}{2}|\le1 [/mm]

denn A-Stabilität bedeutet, wenn S=(a [mm] \in \IC): |p(a)|\le1) [/mm]

Es entsteht ein rechteckiger Bereich (mit abgerundeten Ecken), der sich auf der reelen Achse zwischen -2 und 0 befindet.
Bin echt lange raus aus der Arbeit mit mit kplxn. Zahlen nicht mehr allzuviel anfangen. Wäre cool, wenn ihr das bei Euren Antworten berücksichtigt.

Besten Dank



Bezug
                        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Di 22.07.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]|p(a)|=|1+a+\bruch{a^2}{2}|\le1[/mm]

> Es entsteht ein rechteckiger Bereich (mit abgerundeten
> Ecken), der sich auf der reellen Achse zwischen -2 und 0
> befindet.


Hallo egal,

es soll also darum gehen, das Gebiet S in der x-y-Ebene
darzustellen. Um mir das anzusehen, habe ich mal Wolfram
Alpha aufgerufen:

      []Rand von S

Gezeichnet ist die Randkurve von S. S besteht aus dem
Inneren dieser Kurve samt der Kurve selbst.
Die Gleichung der Randkurve ergibt sich rechnerisch so:
Man setzt  $\ a:=x+i*y$ in die Gleichung  [mm] $\left|1+a+\bruch{a^2}{2}\right|=1$ [/mm]  ein
und formt diese durch Anwendung der Rechenregeln für
komplexe Zahlen soweit um, bis man zu einer Gleichung
nur in x und y kommt. Diese Gleichung ist allerdings
recht kompliziert. Falls ich richtig gerechnet habe:

   $\ [mm] x^4+4*x^3+2*x^2*y^2+8*x^2+4*x*y^2+8*x+y^4\ [/mm] =\ 0$

Nun könnte man diese Kurve mittels impliziten Ableitens
näher untersuchen. Doch du fragst ja ohnehin nach einer
Lösung mit deinem Rechner. Soweit ich weiß, ist aber der
TI-82 nicht in der Lage, mit komplexen Zahlen formal zu
rechnen (für die obige Gleichung), und auch nicht, eine
nur implizit gegebene Kurvengleichung grafisch darzu-
stellen. Insofern muss ich dich also wohl enttäuschen.
Ich habe für die Umformungen, die zur obigen Gleichung
geführt haben, eine der "größeren Schwestern" des TI-82
benützt, nämlich einen Voyage 200. Der hat ein CAS, das
mit komplexen Zahlen gut umgehen kann und auch
implizit gegebene Kurven darstellen kann (wofür er dann
aber ziemlich viel Zeit braucht).

LG ,     Al-Chwarizmi


Bemerkung:  die obige Gleichung ist auch für den Punkt
P(0|0) erfüllt. Die Kurve hat also ausser der ovalen
Randkurve noch einen zusätzlichen isolierten Punkt in
deren Zentrum.




Bezug
                                
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Kplx Zahlen grafisch?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Di 22.07.2014
Autor: egal

wow, danke für die sehr ausführliche Antwort ;-)

Bezug
                        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Di 22.07.2014
Autor: fred97

Ergänzend: es ist

[mm] $\partial S=\{a \in \IC: |a-(-1+i))*(a-(-1-i))|=2\} [/mm]

eine Cassinische Kurve.

http://de.wikipedia.org/wiki/Cassinische_Kurve

FRED

Bezug
                        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Di 22.07.2014
Autor: rmix22

Ich kenne den von dir verwendeten TR nicht, aber auch wenn er keine Kurven in impliziter Darstellung plotten kann solltes es dir möglich sein, deine Kurve zu erhalten.
Du gehst so vor, wie es Al-Chwarizmi beschrieben hat und erhältst
     $ \ [mm] x^4+4\cdot{}x^3+2\cdot{}x^2\cdot{}y^2+8\cdot{}x^2+4\cdot{}x\cdot{}y^2+8\cdot{}x+y^4\ [/mm] =\ 0 $

Das ist sympathischerweise eine biquadaratische Gleichung in y. Das heißt, du erhältst etwa durch die Substitution [mm] $u=y^2$ [/mm] eine quadratische Gleichung in u, welche du leicht lösen kannst:
     [mm] $u=-x^2-2*x\pm{2}*\wurzel{-x^2-2*x}$ [/mm]

Eine kurze Überprüfung zeigt, dass nur [mm] $x\in{[-2;0]}$ [/mm] und das positive Vorzeichen vor der Wurzel Werte [mm] $u\ge0$ [/mm] gewährleisten. Letzteres ist nötig, weil $u$ ja das Quadrat des reellwertigen Imaginärteils $y$ ist.

Somit erhalten wir
     [mm] $y=\pm\wurzel{-x^2-2*x+{2}*\wurzel{-x^2-2*x}}$ [/mm]

Wenn dein TR auch zwei explizit gegebene Funktionen in einem Diagramm plotten kann, dass kannst du jetzt die obere und die untere "Hälfte" deiner Kurve zeichnen lassen, ansonsten musst du dich eben entscheiden, welche Hälfte du sehen möchtest.

Deine Kurve lässt sich auch räumlich interpretieren als Schnitt der Fläche, die sich ergibt, wenn man über der Gauß-Ebene deine reellwertige Betragsfunktion aufträgt und der Ebene $z=1$.
Aber vermutlich kann der TR keine 3D-Grafiken darstellen.

[Dateianhang nicht öffentlich]



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: merci
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Di 22.07.2014
Autor: Al-Chwarizmi


>       [mm]\ x^4+4\cdot{}x^3+2\cdot{}x^2\cdot{}y^2+8\cdot{}x^2+4\cdot{}x\cdot{}y^2+8\cdot{}x+y^4\ =\ 0[/mm]
>  
> Das ist sympathischerweise eine biquadratische Gleichung in y.

Das hatte ich gar nicht bemerkt. Danke für den Hinweis !

LG ,    Al

Bezug
                                        
Bezug
Kplx Zahlen grafisch?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Di 22.07.2014
Autor: rmix22


> >       [mm]\ x^4+4\cdot{}x^3+2\cdot{}x^2\cdot{}y^2+8\cdot{}x^2+4\cdot{}x\cdot{}y^2+8\cdot{}x+y^4\ =\ 0[/mm]

>  
> >  

> > Das ist sympathischerweise eine biquadratische Gleichung in
> y.
>  
> Das hatte ich gar nicht bemerkt. Danke für den Hinweis !

Die Gleichung wäre sogar nach x recht leicht auflösbar (aber warum sollte man das machen), da die Substitution $x=z-1$ auf eine Gleichung führt, die sowohl in y wie auch in z biquadratisch ist.

Gruß RMix

PS: Der Punkt (0/0) ist übrigens kein isolierter, singulärer Punkt in der Mitte des Ovals sondern er liegt ganz brav am Umriss - die Kurve ist ja nicht symmetrisch zur Ordinatenachse.


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