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Forum "Uni-Sonstiges" - Kürzesten Abstand der Geraden
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Kürzesten Abstand der Geraden: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Fr 23.01.2015
Autor: Ray1983

Aufgabe
Bestimme den kürzesten Abstand a (in der Euklidischen Norm) der Geraden   [mm] \vec g [/mm] (x)= [mm] \begin{pmatrix} 1+x \\ -x \\ 1+2x \end{pmatrix} [/mm]   vom Nullpunkt.

[mm] x\in\IR [/mm]

Hallo,

ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter. Mein Ansatz ist folgender:
[mm] \vec g [/mm](x)= [mm] \wurzel{(1+x)^2-x^2+(1+2x)^2} [/mm]
    = [mm] \wurzel{1+2x+x^2-x^2+1+4x+4x^2} [/mm]
    = [mm] \wurzel{4x^2+6x+2} [/mm]

Muss ich jetzt vom Ausdruck unter der Wurzel die Nullstellen suchen?

Ray


        
Bezug
Kürzesten Abstand der Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:04 Fr 23.01.2015
Autor: Sax

Hi,

> Bestimme den kürzesten Abstand a (in der Euklidischen
> Norm) der Geraden   [mm]\vec g[/mm] (x)= [mm]\begin{pmatrix} 1+x \\ -x \\ 1+2x \end{pmatrix}[/mm]
>   vom Nullpunkt.

Etwas seltsame Art der Notation.  
Üblich ist    g :  [mm] \vec{x} [/mm] = ...

>  
> [mm]x\in\IR[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter. Mein
> Ansatz ist folgender:
> [mm]\vec g [/mm](x)=

hier solltest du  d(x) =  ..   schreiben, denn du berechnest doch einen Abstand.

> .. = [mm]\wurzel{(1+x)^2-x^2+(1+2x)^2}[/mm]

Der mittlere Term muss  .. + [mm] (-x)^2 [/mm] ..   heißen und das ist nicht  .. - [mm] x^2 [/mm] ..

>      = [mm]\wurzel{1+2x+x^2-x^2+1+4x+4x^2}[/mm]
>      = [mm]\wurzel{4x^2+6x+2}[/mm]
>  
> Muss ich jetzt vom Ausdruck unter der Wurzel die
> Nullstellen suchen?

Wenn du wissen möchtest, für welchen Parameterwert x die Gerade den Nullpunkt enthält, dann ja. Aber erstens enthält sie den Nullpunkt nicht und zweitens willst du das gar nicht wissen, sondern du willst berechnen, für welchen Parameterwert x (und damit später : Für welchen Punkt X der Geraden) der Abstand d zum Nullpunkt minimal wird.
Du musst also Extrema der Funktion d bestimmen. Die erste Ableitung von d leistet da gute Dienste  (d'(x) bilden, davon die Nullstellen bestimmen usw.)

>  
> Ray
>  

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Kürzesten Abstand der Geraden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Sa 24.01.2015
Autor: Ray1983

Nun sieht die Aufgabe wie folgt aus:

[mm] d(x)=\wurzel{6x^2+6x+2} [/mm]

d(x)= [mm] 6x^2+6x+2 [/mm]
d´(x)= 12x+6

Dies Null gesetzt ergibt x=-1/2

Den Wert in die Funktion eingesetzt:

d(-1/2) = [mm] 6*(-1/2)^2+6*(-1/2)+2 [/mm] =  1/2

[Dateianhang nicht öffentlich]


Und dann könnte ich mit dem Satz von Pytagoras mir den Abstand ausrechen:

[mm] d=\wurzel{(-1/2)^2+(1/2)^2}= \wurzel{(1/2)} [/mm]

Passt das so?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Kürzesten Abstand der Geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Sa 24.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo!


> Nun sieht die Aufgabe wie folgt aus:
>  
> [mm]d(x)=\wurzel{6x^2+6x+2}[/mm]
>  
> d(x)= [mm]6x^2+6x+2[/mm]
>  d´(x)= 12x+6

Mindestens eine Begründung wäre angebracht. Mathematisch korrekt ist das nicht.
Ich würde an deiner Stelle auch die Funktion anders benennen.

> Dies Null gesetzt ergibt x=-1/2
>  
> Den Wert in die Funktion eingesetzt:
>
> d(-1/2) = [mm]6*(-1/2)^2+6*(-1/2)+2[/mm] =  1/2
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Und dann könnte ich mit dem Satz von Pytagoras mir den
> Abstand ausrechen:
>  
> [mm]d=\wurzel{(-1/2)^2+(1/2)^2}= \wurzel{(1/2)}[/mm]
>  
> Passt das so?

Ja.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Kürzesten Abstand der Geraden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:16 Sa 24.01.2015
Autor: Ray1983

OK, ich werde es in meiner Lösung anders Aufschreiben. Verstanden habe ich es nun. Vielen Dank für die schnelle Hilfe

Ray1983

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