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Forum "Sonstiges" - Kürzester weg über Kreispunkt
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Kürzester weg über Kreispunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Sa 17.06.2017
Autor: JaykopX

Hallo!
Ich möchte von zwei gegeben Punkten D, R den kürzesten Weg finden der über einen Punkt X geht. Wobei X ein Punkt im oder auf einem Kreis K ist mit Mittelpunkt C und radius r. Siehe Skizze.

[Dateianhang nicht öffentlich]

W2 liegt auf dem Kreis und wird durch die Winkelhalbierenden von CD und CR bestimmt.

M liegt auf dem Kreis und wird durch die MittelSenkrechte CE bestimmt.

Ich denke W2 ist das, was ich suche, bin mir aber nicht sicher. Evtl. sind W2 und M sogar gleichwertig?

Dann noch eine weitere Frage:
Nehmen wir an ich befinde mich auf W2 und ich möchte mich auf dem Kreisrand in Richtung BCC bewegen. Ich habe die Bogenlänge b, die ich laufen möchte, gegeben. Wie bestimme ich nun den Punkt N auf dem Kreisrand an dem ich lande?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
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Kürzester weg über Kreispunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Sa 17.06.2017
Autor: chrisno

Die Zeichnung sieht so aus, als ob Du sie mit Geogebra erstellt hast. Dann kannst Du mit sum=Länge[a]+Länge[b] Dir die Summe der beiden Streckenlängen verschaffen und sie in einem Textfeld anzeigen lassen. Damit herumzuspielen lohnt sich, weil Deine These schon so geschlachtet wird.

Die (nicht Mittel-) Senkrechte kann nicht relevant sein. Verschiebe ein gutes Stück nach links und Du wirst das auch sehen.

Zu Deiner letzten Frage muss ich zurückfragen:
Welche Möglichkeit um N festzulegen hast Du gegeben. Ich schlage vor, aus Bogenlänge und Radius den Winkel zu berechnen und über diesen dann N als Schnittpunkt des Schenkels zu bestimmen.

Da ich noch keine Idee habe, wie der richtige Punkt zu bestimmen ist, ist die Frage natürlich nur teilweise beantwortet.

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Kürzester weg über Kreispunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Sa 17.06.2017
Autor: JaykopX

Ja über den Punkt M ist nicht richtig, das leuchtet ein.
Was ist mit W2? Meintest du, dass dies auch schon nicht geht?

Mich interessiert hier auch nur der Fall in der Skizze wenn D und R außerhalb des Kreises liegen und der Kreis nicht geschnitten oder tangiert wird, weil ich die anderen Fälle schon gelöst habe.

Habe mit GeoGebra nur Skizzen erstellt und muss mal sehen man das mit der Summe macht und anzeigen lässt.

Ich möchte das ganze in einem Programm verwenden. Am besten wäre es wenn ich den Punkt N mit einfacher Vektorrechnung bestimmen könnte. Sowas wie N = W2 + richtungsVektor*Faktor. Mit winkeln kommt man schnell zu Fallunterscheidungen, links, rechts, >180°, <180°, usw.


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Kürzester weg über Kreispunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:24 Sa 17.06.2017
Autor: chrisno


> Ja über den Punkt M ist nicht richtig, das leuchtet ein.
>  Was ist mit W2? Meintest du, dass dies auch schon nicht
> geht?

Ja, die angezeigte Summe wurde an einem anderen Punkt kleiner.

>  
> Mich interessiert hier auch nur der Fall in der Skizze wenn
> D und R außerhalb des Kreises liegen und der Kreis nicht
> geschnitten oder tangiert wird, weil ich die anderen Fälle
> schon gelöst habe.

Das ist bei meiner Spielerei auch so gewesen.

>  
> Habe mit GeoGebra nur Skizzen erstellt und muss mal sehen
> man das mit der Summe macht und anzeigen lässt.

Erst in der Kommandozeile sum = ... eintippen und dann Text einfügen und dabei unter Objekte sum auswählen.

>  
> Ich möchte das ganze in einem Programm verwenden. Am
> besten wäre es wenn ich den Punkt N mit einfacher
> Vektorrechnung bestimmen könnte. Sowas wie N = W2 +
> richtungsVektor*Faktor. Mit winkeln kommt man schnell zu
> Fallunterscheidungen, links, rechts, >180°, <180°, usw.
>  

Das ist, glaube ich, nicht so wild. Der Winkel ACC-C-BCC ist kleiner als 180°. Seine Richtung gibt Dir auch die gesuchte Richtung vor.

Ich habe mir mal aufgeschrieben, was zu tun ist, um den gesuchten Punkt auszurechnen. Das sieht erst einmal nicht so schön aus. In einem Programm kannst Du mit einem numerischen Verfahren zum Ziel kommen.
Starte bei dem Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden, W2, Halbiere den Winkel ACC-D-W2. Wird das Ergebnis größer, halbiere den Winkel W2-D-BCC. Wurde das Ergebnis kleiner, dann halbiere den Winkel zwischen W2 und dem neuen Punkt, und so weiter. Überlege, welche Genauigkeit Du brauchst und formuliere das entsprechende Abbruchkriterium.



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Kürzester weg über Kreispunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Sa 17.06.2017
Autor: JaykopX

Ok, danke schonmal. Hab jetzt durch rumprobieren auch gemerkt das W2 nicht richtig ist. Dann bleibt die Frage nach dem Punkt X offen. Hatte gedacht X kann man durch eine einfache Formel finden.

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Kürzester weg über Kreispunkt: Hilfsellipse als Lösungsidee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:07 So 18.06.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo JaykopX

dieselbe Frage wurde da gestellt:

http://www.onlinemathe.de/forum/Reflexion-am-Kreis

Nun kann man sich etwa fragen, wie man denn die Gleichung einer
Ellipse mit gegebenen Brennpunkten aufstellen kann, welche
außerdem einen gewissen vorgegebenen Kreis berührt.
Möglicherweise ist HJKweseleit gerade daran, dies zu erläutern ...

LG ,   Al-Chwarizmi

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Kürzester weg über Kreispunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 18.06.2017
Autor: JaykopX

Danke für den Link. Ich habe versucht, den ersten Ansatz mit den 2 Pythagoras nachzuvollziehen, verstehe aber nicht wie man damit auf den Punkt kommen soll. Bzw. ich denke, dass man dort mit Ableitungen arbeiten muss wegen dem min(a+b).

Der Ellipsen Ansatz gefällt mir und ich möchte den weiter verfolgen und damit das Problem lösen.
Meine Überlegungen soweit: Für den Spezialfall, dass die Brennpunkte zusammenfallen (D = R), ist die Lösung trivial (leider auch witzlos):
N = D - C1
N normieren
S = C1 + N * R1
ich habe dann versucht das auf die Ellipse zu erweitern, indem ich den Ellipsenmittelpunkt betrachte, komme damit aber nicht weiter.

Wenn ich die Tangente zwischen Kreis und Ellipse hätte, dann kann ich auch S bestimmen, aber das scheint genauso schwierig zu sein wie S direkt zu bestimmen.

Numerisch könnte ich die große Halbachse der Ellipse variieren, dann die Schnittpunkte von Ellipse und Kreis ausrechnen und abbrechen wenn der Abstand der Schnittpunkte < [mm] \epsilon [/mm] (oder ich nur einen Schnittpunkt habe)

Ich bin aber sehr an einer Methode interessiert, ähnlich wie beim Spezialfall D = R. Exakt, ohne Numerik.

Edit: Ich denke wenn ich Kreis und Ellipse gleichsetze und nach der Großen Halbachse auflöse, dann hab ich es gelöst... versuche das jetzt mal
Edit2: Gleichung 4ten grades für Kreis-Ellipsen Schnittpunkt, das kann man i.a. nur numersich lösen(oder da gabs noch Ferrari für 4ten grad..), ich geb auf. Eine exakte Lösung kann ich nicht finden.

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Kürzester weg über Kreispunkt: Ellipsenansatz etwas weiter
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 So 18.06.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Der Ellipsen Ansatz gefällt mir und ich möchte den weiter
> verfolgen und damit das Problem lösen.

Mir gefällt die Idee ebenfalls sehr. Um sich die Arbeit möglicherweise
zu erleichtern, empfiehlt es sich, das Ganze zuerst in ein geeignetes
Koordinatensystem zu transformieren. Ich würde beispielsweise ein
Koordinatensystem wählen, in welchem die zu beschreibende Ellipse
in Hauptachsenlage ist, also beide Brennpunkte (nach deiner Ausgangs-
lage die Punkte D und R) auf der x-Achse, warum also nicht gerade in
den Punkten  [mm] F_1(+1 [/mm] | 0)  und  [mm] F_2(-1 [/mm] | 0) . In diesem Hilfskoordinaten-
system erhält dann der gegebene Kreis einen gewissen Mittelpunkt
M(u|v) und einen Radius r  (natürlich verschieden vom ursprünglichen
Radius).

Die Ellipsengleichung lautet  [mm] $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\,=\,1$ [/mm]
und wir haben die Nebenbedingung  $\ [mm] a^2\,-\,b^2\,=\,1$ [/mm] .

Die Gleichung des Kreises (im angepassten Koordinatensystem) lautet

      $\ [mm] (x-u)^2\,+\,(y-v)^2\,=\,r^2$ [/mm]

Eigentlich kann man sich auf eine einzige freie Variable konzentrieren,
zum Beispiel auf die Variable  t:= [mm] b^2 [/mm] . Für eine sinnvolle Lösung soll
natürlich  b>0  und damit auch  t>0 sein. Mittels t ausgedrückt wäre
dann etwa  $\ [mm] a^2 [/mm] = 1 + t$  und  $\ [mm] a\,=\,\sqrt{ 1 + t}$ [/mm]

und die Gleichung der Ellipse erscheint dann als:

      [mm] $\frac{x^2}{1+t}+\frac{y^2}{t}\,=\,1$ [/mm]

Im Weiteren muss man sich nun mit dem Gleichungssystem

   (1)   $\ [mm] (x-u)^2\,+\,(y-v)^2\,=\,r^2$ [/mm]
   (2)   [mm] $\frac{x^2}{1+t}+\frac{y^2}{t}\,=\,1$ [/mm]

auseinandersetzen und dafür sorgen, dass es (bei vorgegebenen
Zahlenwerten für u, v und r) für das Paar (x,y) nur eine einzige
Lösung hat.  Mit dieser verbleibenden Aufgabe habe ich mich noch
nicht weiter beschäftigt. So ganz trivial erscheint sie leider nicht ...

LG  ,   Al-Chwarizmi


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Kürzester weg über Kreispunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 18.06.2017
Autor: HJKweseleit

[Dateianhang nicht öffentlich]

Möglicher Weise hilft dir folgende physikalische Überlegung:

Wir nehmen an, der Kreis sei ein Spiegel, und ein Lichtstrahl von A über S am Spiegel wird genau auf B reflektiert. Man weiß nun aus der Physik, dass das Licht dabei den (zeitlich, hier nicht relevant) kürzesten Weg geht, was bedeutet, dass ASB minimale Weglänge hat. Andererseits gilt für die Reflexion am (gebogenen) Spiegel: Einfallswinkel = Reflexionswinkel. Daher müssen die beiden gelb gefärbten Winkel zwischen der verlängerten Speiche MS und AS bzw. BS gleich groß sein.

Evtl. kannst du daraus auf die Konstruktion von S schließen.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kürzester weg über Kreispunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 So 18.06.2017
Autor: JaykopX

Deine Erläuterung hilft zu verstehen, warum die Beschriebene Strecke die kürzeste ist. Aber leider weis ich dadurch immer noch nicht wie man an S kommt. Der Hinweis mit dem Winkel hat mir auch nicht geholfen.

Bezug
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