Kugeln in metrischen Räumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei (X,d) ein (vollständiger) metrischer Raum. Wir betrachten für zwei Elemente [mm] x_1, x_2 \in [/mm] X und [mm] r_1, r_2 [/mm] > 0 die abgeschlossenen Kugeln
[mm] B_1 [/mm] := [mm] \{ x \in X | d(x_1,x) \leq r_1 \},
[/mm]
[mm] B_2 [/mm] := [mm] \{ x \in X | d(x_2,x) \leq r_2 \}.
[/mm]
Meine Frage ist nun: Falls [mm] B_1 \subset B_2 [/mm] ist, folgt dann automatisch (und wenn ja wie) [mm] r_1 \leq r_2 [/mm] ?
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo nakedapples,
Ich würde mal versuchen anhand $X=[0,1] [mm] \cup [/mm] [2,3]$ mit der Metrik aus R ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
viele grüße
mathemaduenn
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Tut mir leid, aber das verstehe ich nicht. Mit dem Betrag kann es doch gar kein Gegenbeispiel geben, oder?
Denn es ist doch
[mm] B_1 [/mm] = [mm] \{ x \in X | |x_1-x| \leq r_1 \} [/mm] = [mm] [x_1-r_1,x_1+r_1] \cap [/mm] X
[mm] B_2 [/mm] = [mm] [x_2-r_2,x_2+r_2] \cap [/mm] X
und wegen [mm] B_2 \subset B_1 [/mm] muss damit
[mm] [x_2-r_2,x_2+r_2] \subset [x_1-r_1,x_1+r_1]
[/mm]
gelten. Wir erhalten
[mm] x_2 [/mm] - [mm] r_2 \leq x_2 [/mm] + [mm] r_2 \leq x_1 [/mm] - [mm] r_1 \leq x_1 \leq x_1 [/mm] + [mm] r_1 [/mm]
und damit doch [mm] r_1 \geq r_2.
[/mm]
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Hallo nakedapples,
> Denn es ist doch
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> [mm]B_1[/mm] = [mm]\{ x \in X | |x_1-x| \leq r_1 \}[/mm] = [mm][x_1-r_1,x_1+r_1] \cap[/mm]
> X
> [mm]B_2[/mm] = [mm][x_2-r_2,x_2+r_2] \cap[/mm] X
>
> und wegen [mm]B_2 \subset B_1[/mm] muss damit
>
> [mm][x_2-r_2,x_2+r_2] \subset [x_1-r_1,x_1+r_1][/mm]
Dieser Schritt stimmt nicht es muß geschnitten X heißen. Und wenn man das tut darf eben durchaus
[mm] x_2-r_2
Alles klar?
viele grüße
mathemaduenn
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