matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionenKurve/Bilder
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Funktionen" - Kurve/Bilder
Kurve/Bilder < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurve/Bilder: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:01 Mi 24.08.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Satz (Kurven und Bilder)
Seien [mm] \gamma_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] und [mm] \gamma_2:[c,d]\rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] gegeben. Dann:

1) [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2 \Rightarrow \gamma_1([a,b]) [/mm] = [mm] \gamma_2([c,d]) [/mm]
2) [mm] \gamma_1([a,b])= \gamma_2([c,b]) [/mm] und [mm] \gamma_1, \gamma_2 [/mm] reguläre Jorankurven die nicht geschlossen sind so folgt [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2 [/mm] oder [mm] \gamma_1 \sim \tilde{\gamma_2} [/mm]


Zu den Begriffen:
Sind I,J [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] Intervalle. Eine zulässige Parametertransformation ist eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] \phi:I \rightarrow [/mm] J mit [mm] \phi'(t)>0 \forall [/mm] t [mm] \in [/mm] I.Zwei Wege  [mm] \gamma: [/mm] I [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] und [mm] \sigma: [/mm] J [mm] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] heißen äquivalent, wenn es eine zulässige Paramtertransformaton [mm] \phi:I \rightarrow [/mm] J gibt mit [mm] \sigma \circ \phi [/mm] = [mm] \gamma [/mm] wir schreiben dafür auch kurz [mm] \gamma \sim \sigma. [/mm]
Ein Weg [mm] \gamma: [/mm] I [mm] \rightarrow\mathbb{R}^n [/mm] heißt regulär. wenn [mm] \gamma [/mm] stetig differenzierbar und [mm] \gamma'(t) \not=0 [/mm] gilt für alle t [mm] \in [/mm] I.
Eine orientierte stückweise reguläre Kurve heißt Jordankurve wenn sie eine Paramterdarstellung [mm] \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] hat sodass [mm] \gamma|_{[a,b)} [/mm] injektiv ist.
Sei [mm] \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n [/mm] eine Paramterdarstellung der Kurve C. Dann ist -C die Kurve die durch [mm] \tilde{\gamma}= \gamma(b [/mm] - (t-a)) dargestellt ist.



Hallo
Der Beweis zu 1) ist klar aber der zu 2) nicht.

Im Skript:
Da [mm] \gamma_i [/mm] reguär und Jordan sind folgt für die Länge [mm] L(\gamma_1)=L(\gamma_2)=:L [/mm]
[mm] s_1: [/mm] t [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \mapsto \int_a^t |\gamma_1'(t)| [/mm] dt
[mm] s_2: [/mm] t [mm] \in [/mm] [c,d] [mm] \mapsto \int_c^t |\gamma_2'(t)| [/mm] dt
sodass [mm] s_1(b)=s_2(d)=L [/mm]
Falls [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(c) [/mm] ist [mm] \phi(t):= s_2^{-1} (s_1(t)) [/mm] der Diffeomorphismus der Äquivalenz [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2. [/mm]
Falls [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(d) [/mm] ist der diffeomorphismus [mm] \phi(t)= s_2^{-1} [/mm] (L - [mm] s_1(t)) [/mm]
[mm] \Box [/mm]

Kann mit wer den Beweis im Skript erklären?

Warum sind das jeweils Diffeomorphismen die [mm] \gamma_1= \gamma_2 \circ \phi [/mm]  oder [mm] \gamma_1 [/mm] = [mm] \tilde{\gamma_2} \circ \phi [/mm] erfüllen?
Mir ist klar [mm] s_1:[a,b] \rightarrow [/mm] [0,L] ist [mm] C^1 [/mm] da t [mm] \mapsto |\gamma_1'(t)| [/mm] stetig ist + Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
[mm] s_1'(t)= |\gamma_1'(t)| [/mm] >0 (da regülär) also ist [mm] s_1 [/mm] eine zulässige Paramtertransformation.
[mm] s_1 [/mm] eingeschränkt aufs Bild ist bijektiv. Die Umkehrfunktion [mm] s^{-1} (\sigma)=\frac{1}{s_1'(s_1^{-1}(\sigma))}= \frac{1}{|\gamma_1(s_1^{-1}(\sigma))|}>0 [/mm]

Warum muss ich nur die beiden Fälle unterscheiden: [mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(c), \gamma_1(a)=\gamma_2(d) [/mm] ?

        
Bezug
Kurve/Bilder: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:17 Do 25.08.2016
Autor: hippias

Nur auf die Schnelle eine kurze Bemerkung; vielleicht genügt das schon. Bei mir ist [mm] $\phi'= \frac{|\gamma_{2}'(t)|}{|\gamma_{1}'(\phi(t))|}$ [/mm] und somit [mm] $|\gamma_{1}(\phi(t))'|= |\gamma_{1}'(\phi(t))\phi'(t)|= |\gamma_{2}(t)|$. [/mm] Also stimmen [mm] $\gamma_{1}(\phi(t))$ [/mm] und [mm] $\gamma_{2}$ [/mm] and der Stelle $c$ überein und haben (wenigstens betragsmässig) überall die gleiche Steigung. Daraus würde ich [mm] $\gamma_{2}= \gamma_{1}\circ \phi$ [/mm] versuchen herzuleiten.

Bezug
                
Bezug
Kurve/Bilder: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:35 Fr 26.08.2016
Autor: sissile

Arbeitest du hier mit dem  $ [mm] \phi_1(t):= s_2^{-1} (s_1(t)), \phi_2(t):= s_2^{-1} [/mm] $ (L - $ [mm] s_1(t)) [/mm] $ , dass im ersten Beitrag erzeugt wurde oder mit einen noch nicht konstruiereten beliebigen [mm] \phi, [/mm] dass zu der Äquivalenz $ [mm] \gamma_1 \sim \gamma_2. [/mm] $ noch konstruiert werden muss?
Ich sehe ehrlichgesagt nicht den zusammenhang zu meinen geposteten Beweis oder ich verstehe den Kontext deines Beitrages nicht...

LG,
Sissi

Bezug
                        
Bezug
Kurve/Bilder: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Fr 26.08.2016
Autor: hippias

Es ging mir um [mm] $\gamma_{1}([a,b])= $\gamma_{2}([c,d])\Rightarrow $\gamma_{1}\sim \gamma_{2}$. [/mm] Ich habe das ganze noch nicht zu Ende gedacht, sondern wollte nur den Ausgangspunkt meiner Überlegung schildern.
Ich betrachte ich den Fall [mm] $\gamma_{1}(a)= \gamma_{2}(c)$ [/mm] , d.h. die Bildkurve wird durch beide Parametrisierungen gleichsinnig durchlaufen; der gegensinnige Fall läuft dann analog mit dem anderen [mm] $\phi$ [/mm] (oder Du betrachtes [mm] $\tilde{\gamma_{2}}:= \gamma_{2}(-(x-c)+d)$). [/mm]

Es sei also [mm] $\phi= s_{1}^{-1}\circ s_{2}$ [/mm] und zeigen will ich [mm] $\gamma_{1}\circ \phi= \gamma_{2}$. [/mm]

Meine Beobachtung ist, dass im jeden Fall [mm] $\gamma_{1}(\phi(c))= \gamma_{2}(c)$ [/mm] ist und zusätzlich [mm] $|\left(\gamma_{1}\circ \phi)\right)'|= |\gamma_{2}'|$ [/mm] auf dem Intervall gilt.

Könnte ich mir klarmachen, dass die Ableitungen nicht nur betragsmässig, sondern "richtig" gleich sind, dann folgt mit dem gemeinsamen Startwert sofort, dass [mm] $\gamma_{1}\circ \phi= \gamma_{2}$ [/mm] ist.

Bezug
                                
Bezug
Kurve/Bilder: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:11 Sa 17.09.2016
Autor: sissile

Hallo,
Ich habe die Frage total vergessen - war im Ausland und hatte nicht mehr daran gedacht!

Ich verstehe deine Übelegungen. Bist du mittlerweile schon auf die Lösung gekommen?
Ich hab mir dazu angeschaut:
[mm] \gamma_2 (s_2^{-1} (s_1(t))= \gamma_2 (s_2^{-1} (\int_a^t |\gamma_1'(t)| [/mm] dt)= [mm] \gamma_2 \{x \in [a,b]| s_2 (x)= \int_a^t |\gamma_1'(t)| dt\}= \gamma_2 \{x \in [a,b]| \int_c^x |\gamma_2'(t)| dt= \int_a^t |\gamma_1'(t)|dt\} [/mm]
Bildlich gesprochen schaue ich welche Weglänge [mm] \gamma_1 [/mm] zurückgelegt hat bis zum Zeitpunkt t und dann schaue ich zu welchen Zeitpunkt [mm] \gamma_2 [/mm]  diese Wegstrecke zurückgelegt hat.

Für [mm] \gamma_1(x) \in \gamma_1([a,b]) [/mm] gibt es ein s [mm] \in [/mm] [c,d]: [mm] \gamma_1(x)=\gamma_2(s) [/mm] nach Voraussetzung.


Lg,
Sissi

Bezug
                                        
Bezug
Kurve/Bilder: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 25.09.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Kurve/Bilder: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Fr 26.08.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]