matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenKurvenintegral
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegral
Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 So 04.10.2015
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Ich habe eine Frage zum folgenden Wikipedia Link über kurvenintegrale

[]Kurvenintegral

Ich verstehe nicht was unter dem Punkt "Einfluss der Parametrisierung" erklärt wird. liegt z.b. daran das ich nicht sicher bin was ein Bild ist (ich habe mir Definition gelesen, so wie ich das verstanden habe ist ein Bild dasselbe wie ein Funktionswert)

Kann jemand das, was unter "Einfluss der Parametrisierung" erklärt wird, nochmal anders erklären?

        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 04.10.2015
Autor: Richie1401

Hallo,

Betrachte folgende zwei Kurven:

[mm] \gamma_1:[0,1]\to\IR [/mm] gemäß [mm] t\mapsto{t} [/mm]

und

[mm] \gamma_2:[2,3]\to\IR [/mm] gemäß [mm] t\mapsto{t-2} [/mm]

Die Parametrisierungen von den zwei Kurven ist verschieden. Das Bild ist jedoch gleich.

Das mit dem Bild kann man sich wirklich bildlich vorstellen. Wenn du die Kurve zeichnen würdest, dann würdest du eben zweimal dasselbe Bild bekommen. Oder anders gesagt, wenn du eine FUnktion $f$ mit Definitionsbereich $D$ hast, dann ist $f(D)$ das Bild.

Ich denke, damit ist alles klar, oder? Falls nicht, dann einfach noch mal nachfragen.

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 So 04.10.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,


> Das mit dem Bild kann man sich wirklich bildlich vorstellen. Wenn du die Kurve zeichnen würdest, dann würdest du eben zweimal dasselbe Bild bekommen. Oder
> anders gesagt, wenn du eine FUnktion [mm]f[/mm] mit Definitionsbereich [mm]D[/mm] hast, dann ist [mm]f(D)[/mm] das Bild.

gegeben ist [mm] f(x)=x^2 [/mm]

für x=2 bekomme ich das Bild 4 richtig? Bild ist dasselbe wie Funktionwert. Kann ich das Wort Bild durch Funktionswert ersetzen oder unterscheiden Mathematiker diese beiden begriffe?

Ich habe das ganze nun so verstanden:

Gegeben sind die Kurven [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] im folgenden Bild

[Dateianhang nicht öffentlich]

In den Punkten a und b haben [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] dasselbe Bild (funktionswert). Deshalb gilt:

[mm] \gamma_1(a)=\gamma_2(a) [/mm]

[mm] \gamma_1(b)=\gamma_2(b) [/mm]

Deshalb gilt auch die folgende gleichung:

Kurvenintegral ertser Art:  [mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma_1(t))*|\gamma_1'(t)| dt}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma_2(t))*|\gamma_2'(t)| dt} [/mm]

Kurvenintegral 2. Art: [mm] \integral_{a}^{b}{f(\gamma_1(t))*\gamma_1'(t) dt}=\integral_{a}^{b}{f(\gamma_2(t))*\gamma_2'(t) dt} [/mm]

habe ich das so richtig verstanden?

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 So 04.10.2015
Autor: Event_Horizon

Hallo!

> gegeben ist [mm]f(x)=x^2[/mm]
>  
> für x=2 bekomme ich das Bild 4 richtig? Bild ist dasselbe
> wie Funktionwert. Kann ich das Wort Bild durch
> Funktionswert ersetzen oder unterscheiden Mathematiker
> diese beiden begriffe?

Nein, das sind unterschiedliche Dinge. Nimm eine Menge von x-Werten. Die Menge aller Funktionswerte, die sich aus diesen x-Werten ergeben, sind das Bild. (und die Menge der x-Werte wird oft Urbild genannt)

Beispiel:  Für jeden x-Wert im Intervall [1;2] (Urbild) nimmt f(x)=x² einen Wert im Bereich [1;4] (Bild) an. Denk dran: Das ist surjektiv, das heißt, jeder Wert im Bild hat mindestens einen entsprechenden Wert im Urbild.



> [Dateianhang nicht öffentlich]


Ich finde deine Grafik ungeeignet, weil sie je nach Sichtweise fast richtig oder völlig falsch ist.

Nehmen wir nochmal ein Beispiel:

[mm] \gamma_1(t)=t^2+1 [/mm] für [mm] t\in[0;2] [/mm]
[mm] \gamma_2(t)=t-1 [/mm]  für [mm] t\in[2;6] [/mm]

Beide Wege haben unterschiedliche Urbilder (=Wertebereiche für t), diese werden aber beide auf [1;5] abgebildet, sie haben das gleiche Bild. Zusätzlich wird gefordert, daß beide Wege für den ersten (und letzten) Wert ihrer jeweiligen den gleichen Wert annehmen, also

[mm] \gamma_1(0)=\gamma_2(2) [/mm]  und [mm] \gamma_1(2)=\gamma_2(6) [/mm]

>  
> Ich habe das ganze nun so verstanden:
>  
> Gegeben sind die Kurven [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] im folgenden
> Bild
>  

Die letzte Forderung sorgt dafür, daß beide Wege den gleichen Startpunkt haben.


Mal ganz plump: Zwei Autos fahren an unterschiedlichen Tagen von Hamburg nach München. Gefordert wird, daß sie die gleiche Route fahren (das gleiche Bild haben). Gefordert wird weiterhin, daß beide zu ihren jeweiligen Startzeitpunkten in Hamburg, und zur Ankunftszeit in München sind. Dabei ist es aber völlig egal, wann sie los fahren, wie lange sie brauchen, und wie schnell sie zwischendrin fahren.



Bezug
                                
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 So 04.10.2015
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich denke ich habs nun verstanden, aber mir ist nicht wirklich klar, was ich daraus lernen soll bzw. was mir diese Information bringt

Bezug
                                        
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 Mo 05.10.2015
Autor: Rebellismus

ach ok jetzt verstehe ich was ich daraus lernen soll. Ich sollte lernen das unterschiedliche Parametrisierungen die selbe Kurve ergeben können

Beispiel: Der Einheitskreis

[mm] \gamma_1=\vektor{cos(t) \\ sin(t)} [/mm]

[mm] \gamma_2=\vektor{cos(t) \\ -sin(t)} [/mm]

[mm] \gamma_3=\vektor{cos(2t) \\ sin(2t)} [/mm]

Die drei Parametrisierungen oben sind unterschiedlich definiert aber für das intervall [mm] [0,2\pi] [/mm] ergeben alle 3 die selbe Kurve

Bezug
                                                
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mo 05.10.2015
Autor: fred97


> ach ok jetzt verstehe ich was ich daraus lernen soll. Ich
> sollte lernen das unterschiedliche Parametrisierungen die
> selbe Kurve ergeben können

Nicht nur das ! Hast Du meine Antwort nicht gelesen ?

FRED

>  
> Beispiel: Der Einheitskreis
>  
> [mm]\gamma_1=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}[/mm]
>  
> [mm]\gamma_2=\vektor{cos(t) \\ -sin(t)}[/mm]
>  
> [mm]\gamma_3=\vektor{cos(2t) \\ sin(2t)}[/mm]
>  
> Die drei Parametrisierungen oben sind unterschiedlich
> definiert aber für das intervall [mm][0,2\pi][/mm] ergeben alle 3
> die selbe Kurve


Bezug
        
Bezug
Kurvenintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:56 Mo 05.10.2015
Autor: fred97


> Ich habe eine Frage zum folgenden Wikipedia Link über
> kurvenintegrale
>  
> []Kurvenintegral
>  
> Ich verstehe nicht was unter dem Punkt "Einfluss der
> Parametrisierung" erklärt wird. liegt z.b. daran das ich
> nicht sicher bin was ein Bild ist (ich habe mir Definition
> gelesen, so wie ich das verstanden habe ist ein Bild
> dasselbe wie ein Funktionswert)
>  
> Kann jemand das, was unter "Einfluss der Parametrisierung"
> erklärt wird, nochmal anders erklären?


Seien [mm] \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^n [/mm] und [mm] \eta\colon[c,d]\to\mathbb [/mm]  Wege im [mm] \IR^n. [/mm]

Das Bild von [mm] \gamma [/mm] , [mm] Bild(\gamma), [/mm] ist die Menge

[mm] Bild(\gamma)=\{\gamma(t):t \in [a,b]\}. [/mm]

Nun stellt sich die

FRAGE: ist

  (1)   [mm] Bild(\gamma)= Bild(\eta), [/mm]

ist dann auch

  (2)  $ [mm] \int\limits_\gamma \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x} [/mm] =  [mm] \int\limits_\eta \mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot\mathrm d\mathbf{x}$ [/mm]  für jedes stetige f ???


Im allgemeinen ist diese Frage mit "Nein" zu beantworten. Suche Du ein geeignetes Beispiel.

Nächste

FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit (2) richtig ist ?


Eine Antwort findes Du unter "Einfluss der Parametrisierung" in Deinem obigen Link.

FRED

Bezug
                
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 Mo 05.10.2015
Autor: Rebellismus

mir fällt kein geeignetes beispiel ein zur ersten frage

>  
> FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit
> (2) richtig ist ?
>  

Man muss voraussetzen: [mm] \gamma(a)=\eta(a) [/mm] und [mm] \gamma(b)=\eta(b) [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Kurvenintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Di 06.10.2015
Autor: fred97


> mir fällt kein geeignetes beispiel ein zur ersten frage
>  
> >  

> > FRAGE: es gelte (1). Was muss man noch voraussetzen, damit
> > (2) richtig ist ?
>  >  
>
> Man muss voraussetzen: [mm]\gamma(a)=\eta(a)[/mm] und
> [mm]\gamma(b)=\eta(b)[/mm]

Das reicht nicht ! Man muss auch noch

    [mm] \gamma_{|(a,b)} [/mm] und [mm] \eta_{|(c,d)} [/mm] sind injektiv

fordern !

FRED

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]