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Forum "Funktionalanalysis" - L2[0,1] unendlich dimensional
L2[0,1] unendlich dimensional < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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L2[0,1] unendlich dimensional: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:28 Mo 19.10.2015
Autor: mathestudent222

Aufgabe
Zeige, dass der Raum [mm] $L^2[0,1]$ [/mm] unendlich-dimensional ist.

Meine Idee: Ich kann zeigen, dass [mm] $\{e^{2\pi ikx}\}$ [/mm] ein orthonormales System bildet. Da dieses bereits unendlich viele Elemente enthält, muss die Dimension (die ja die Kardinalität eines maximal orthonormalen Systems ist) unendlich sein.

Ich brauche daher nicht zeigen, dass dieses System bereits eine ONB bildet, um die Aufgabe zu beantworten. Ist meine Argumentation korrekt?

        
Bezug
L2[0,1] unendlich dimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mo 19.10.2015
Autor: fred97


> Zeige, dass der Raum [mm]L^2[0,1][/mm] unendlich-dimensional ist.
>  Meine Idee: Ich kann zeigen, dass [mm]\{e^{2\pi ikx}\}[/mm] ein
> orthonormales System bildet. Da dieses bereits unendlich
> viele Elemente enthält, muss die Dimension (die ja die
> Kardinalität eines maximal orthonormalen Systems ist)
> unendlich sein.

Erwähnen solltest Du vielleicht noch: da

   [mm]\{e^{2\pi ikx}: k \in \IZ\}[/mm]

ein Orthonormalsystem in  [mm]L^2[0,1][/mm] ist, ist dieses System auch linear unabhängig.

Damit hast Du abzählbar-unendlich viele Elemente in  [mm]L^2[0,1][/mm] .

Edit: abz.  unendlich viele linear unabhängige  El.


>
> Ich brauche daher nicht zeigen, dass dieses System bereits
> eine ONB bildet,

Nein, das brauchst Du nicht, wenn es nur um  [mm]dim L^2[0,1]= \infty[/mm] geht.


>  um die Aufgabe zu beantworten. Ist meine
> Argumentation korrekt?

Ja

FRED


Bezug
                
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L2[0,1] unendlich dimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mo 19.10.2015
Autor: mathestudent222

Danke, dass das System dann automatisch linear unabhängig ist, ist mir klar. Aber was meinst du mit "Damit hast Du abzählbar-unendlich viele Elemente in  $ [mm] L^2[0,1] [/mm] $ . Ist das nicht ohnehin klar, da ja schon das angebenene System abzählbar-unendlich viele Elemente enthält?


Bezug
                        
Bezug
L2[0,1] unendlich dimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Mo 19.10.2015
Autor: fred97


> Danke, dass das System dann automatisch linear unabhängig
> ist, ist mir klar. Aber was meinst du mit "Damit hast Du
> abzählbar-unendlich viele Elemente in  [mm]L^2[0,1][/mm] . Ist das
> nicht ohnehin klar, da ja schon das angebenene System
> abzählbar-unendlich viele Elemente enthält?
>  

Pardon, ich meinte natürlich : abzählbar- unendlich viele linear unabhängige Elemente

Fred


Bezug
                                
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L2[0,1] unendlich dimensional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Di 20.10.2015
Autor: mathestudent222

Alles klar, vielen Dank. Ich hätte noch eine etwas allgemeinere Frage zu Fourier-Reihen. Wäre super, wenn du mir da vl. weiterhelfen könntest.

Wenn $H$ ein Hilbertraum mit ONB [mm] $\{e_k\}_{k\ge1}$ [/mm] gegeben ist, kann jedes [mm] $f\in [/mm] H$ geschrieben werden als: [mm] $f=\sum_{k=1}^{\infty}(f,e_k)e_k$, [/mm] wobei [mm] $(f,e_k)$ [/mm] das innere Produkt bezeichnet und die Fourier-Koeffizienten sind.

Nachdem [mm] $L^2[0,1]$ [/mm] ein Hilbertraum ist, funktioniert das also in diesem Raum. Jetzt wird in der Literatur oftmals nur vorausgesetzt, dass [mm] $f\in L^1[0,1]$. [/mm] In diesem Raum gibt es kein Skalarprodukt. Wie können nun die Koeffizienten berechnet werden? Als Formel für die Koeffizienten finde ich oftmals das gleiche Integral, das auch in [mm] $L^2[0,1]$ [/mm] durch das Skalarprodukt entsteht. In [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] kann dieses Integral ja nicht aus einem Skalarprodukt hervor gehen. Nimmt man einfach an, dass man damit trotzdem die Fourier-Koeffizienten berechnen kann und schaut dann erst danach, ob die Fourier-Reihe mit den entsprechenden Koeffizienten wirklich gegen $f$ konvergiert? Oder gibt es andere Idee, dies auf [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] zu verallgemeinern?

Bezug
                                        
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L2[0,1] unendlich dimensional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 20.10.2015
Autor: fred97


> Alles klar, vielen Dank. Ich hätte noch eine etwas
> allgemeinere Frage zu Fourier-Reihen. Wäre super, wenn du
> mir da vl. weiterhelfen könntest.
>  
> Wenn [mm]H[/mm] ein Hilbertraum mit ONB [mm]\{e_k\}_{k\ge1}[/mm] gegeben ist,
> kann jedes [mm]f\in H[/mm] geschrieben werden als:
> [mm]f=\sum_{k=1}^{\infty}(f,e_k)e_k[/mm], wobei [mm](f,e_k)[/mm] das innere
> Produkt bezeichnet und die Fourier-Koeffizienten sind.
>
> Nachdem [mm]L^2[0,1][/mm] ein Hilbertraum ist, funktioniert das also
> in diesem Raum. Jetzt wird in der Literatur oftmals nur
> vorausgesetzt, dass [mm]f\in L^1[0,1][/mm]. In diesem Raum gibt es
> kein Skalarprodukt. Wie können nun die Koeffizienten
> berechnet werden? Als Formel für die Koeffizienten finde
> ich oftmals das gleiche Integral, das auch in [mm]L^2[0,1][/mm]
> durch das Skalarprodukt entsteht. In [mm]L^1[0,1][/mm] kann dieses
> Integral ja nicht aus einem Skalarprodukt hervor gehen.
> Nimmt man einfach an, dass man damit trotzdem die
> Fourier-Koeffizienten berechnen kann und schaut dann erst
> danach, ob die Fourier-Reihe mit den entsprechenden
> Koeffizienten wirklich gegen [mm]f[/mm] konvergiert? Oder gibt es
> andere Idee, dies auf [mm]L^1[0,1][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

zu verallgemeinern?


Für k \in \IZ sei e_k(x):=e^{2\pi ikx}

Ist $f \in L^2[0,1]$, so ist doch

   $(f,e_k)=\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-2\pi ikx} dx}$.

Das Integral rechts ex. aber auch für $f \in L^1[0,1]$, denn

   $|\integral_{0}^{1}{f(x)e^{-2\pi ikx} dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f(x)|*|e^{-2\pi ikx}| dx}=\integral_{0}^{1}{|f(x)|} dx}=||f||_1$.

FRED


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L2[0,1] unendlich dimensional: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:36 Di 20.10.2015
Autor: mathestudent222

Ok. Aber mir ist nicht klar, wieso dann [mm] $f=\sum_{k\ge1}f(k)e_k$ [/mm] gilt!? Ich wähle als Koeffizienten jene Zahlen, die sich aus dem Skalarprodukt vom [mm] $L^2$ [/mm] ergeben. Im [mm] $L^1$ [/mm] kann ich sie zwar verwenden, aber woher weiß man, dass genau jene die richtigen sind?

Bezug
                                                        
Bezug
L2[0,1] unendlich dimensional: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 22.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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