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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS mehr Variablen als Gleichu
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LGS mehr Variablen als Gleichu: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Do 19.10.2017
Autor: Valkyrion

Aufgabe
Löse das LGS:
1  -3  1  | -3
-3  1  1  |  5

Umgeformt und Nullzeile eingefügt erhält man:

1  -3  1  |  -3
0  8  -4  |   4
0  0   0  |   0

Daraus folgt ja, dass [mm] x_{3} [/mm] beliebig ist: also [mm] x_{3}=t [/mm]

Die Lösung lautet also: [mm] \vektor{\bruch{-3}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 0}+t \vektor{\bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} \\ 1} [/mm]

Meine Frage lautet: Wieso setzt man [mm] x_{3}=t? [/mm] Oder würde das mit [mm] x_{2}=t [/mm] auch gehen? Wäre dann folgendes auch eine Lösung?:

[mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ -1}+t \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm]



        
Bezug
LGS mehr Variablen als Gleichu: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:13 Do 19.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

es ist eine praktische Angewohnheit, die Koeffizientenmatrix auf die obere Dreiecksform zu bringen. Das bringt es mit sich, dass bei einem eindeutig bestimmten LGS in der letzten Zeile die Unbekannte mit dem höchsten Index verbleibt. Also wählt man (wenn ein Parameter ausreicht wie hier) eben diese Variable, um sie durch den Parameter zu ersetzen.

Das sind wie gesagt (äußerst praktische) Gewohnheiten, die man beachten kann aber nicht muss. So hast du in deinem zweiten Versuch eben auf diese Gewohnheit verzichtet. Und: beide Lösungsdarstellungen sind richtig, auch wenn sie unterschiedlich aussehen.

Fasse sie als Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] auf. Die Richtungsvektoren (mit den Parametern) sind dann parallel und man rechnet leicht nach, dass die von t unabhängigen Stützvektoren auch auf der jeweils anderen Geraden liegen.


Gruß, Diophant



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