L' Hospital mit 2 Brüchen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (Grenzwertsätze von de L’Hospital)
Bestimmen Sie:
1. [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1}{sin(x)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{ln(1- x)} [/mm] /* x->0
Die Null wird irgendwie nicht dargestellt. */
2. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln(x)}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] |
Hallo Experten,
ich habe nochmal eine Frage zu meinen Klausuraufgaben und zwar komme ich mit den L' Hospital Aufgaben irgendwie nicht ganz klar.
Bei Aufgabe 1 würde ich eigentlich ausschließen, dass diese berechnet werden kann. Da die Bedingungen nicht erfüllt werden und bei einer Ableitung der Zähler wegfallen würde. Trotzdem ungewöhnlich für eine Klausuraufgabe.
Zu Aufgabe 2 diese läuft ja gegen Null also sollte die Bedingung erfüllt sein. Meine Frage dazu darf ich die Funktion nach belieben vor der Ableitung umstellen?
Viele Grüße,
Fabian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fabian!
Damit Du die Grenzwertberechnung nach Vorschlag von Herrn de l'Hospital anwenden darfst, muss einer der Fälle [mm] $\tfrac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\tfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ [/mm] vorliegen.
Du benötigst also offensichtlich einen Bruchterm. Bei Aufgabe (1) erhältst Du diesen, wenn Du beide Brüche gleichnamig machst und anschließend zu einem Bruch zusammenfasst. Dann kann es auch mit Herrn de l'Hospital losgehen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Fabian!
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln(x)}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
> Zu Aufgabe 2 diese läuft ja gegen Null
Was läuft gegen Null? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
> also sollte die Bedingung erfüllt sein.
Die Bedingungen habe ich Dir oben genannt. Bei dem ersten Bruch liegt der Fall [mm] $\tfrac{\infty}{\infty}$ [/mm] vor. Auf diesen kannst Du nun direkt de l'Hospital loslassen.
Den zweiten Bruch betrachte separat.
> Meine Frage dazu darf ich die
> Funktion nach belieben vor der Ableitung umstellen?
Was meinst Du? Wie bei Deiner Aufgabe (1) muss man erst umformen, um de l'Hospital überhaupt anwenden zu können / dürfen.
Bei dieser Aufgabe ist das nicht notwendig, erst umzuformen.
Und verwende in diesem Zusammenhang besser nicht lapidar den Ausdruck "Ableitung", denn das gerät dann schnell in den falschen Hals.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
Ad 1)
Eine etwas mühsame Rechenaufgabe...
Wie Roadrunner bereits gesagt hat solltest du zuerst einmal über L'Hospital genau nachdenken - wann kann denn die Regel angewandt werden?
Neben anderen Voraussetzungen genau dann wenn ein Ausdruck der Form: [mm] \frac{0}{0} [/mm] oder [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] vorliegt.
Auf den ersten Blick liegt keiner dieser Ausdrücke vor.
Ein Tipp am Rande: Bevor du beginnst Umformungen zu betreiben lass lieber den Limes weg - sonst musst du immer lim... [mm] \gdw [/mm] lim... blaba schreiben (also zuerst den Term umformen und am Ende dann [mm] \limes_{x\rightarrow 0}... [/mm] - spart Zeit und Tinte.
[mm]\frac{1}{Sin(x)} + \frac{1}{ln(1-x)} = \frac{ln(1-x)+Sin(x)}{Sin(x)*ln(1-x)}[/mm] du siehst für x [mm] \to [/mm] 0 liegt nun [mm] \frac{0}{0} [/mm] vor.
Das schreit nach L'Hospital.
Vorneweg: Einmalige Anwendung wird nicht ausreichen.
[mm]\frac{1}{Sin(x)} + \frac{1}{ln(1-x)} = \frac{ln(1-x)+Sin(x)}{Sin(x)*ln(1-x)} \overbrace{=}^{L'Hospital} \frac{\frac{1}{x-1}+Cos(x)}{\frac{Sin(x)}{Cos{x}}+ln(1-x)*Cos(x)}[/mm] , wäre noch immer [mm] \frac{0}{0} [/mm] - wende nun L'Hospital erneut an und betrachte dann x [mm] \to [/mm] 0. Dies sollte dir Auskunft geben.
Gruß
Thomas
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> 1. [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \left(\bruch{1}{sin(x)}\ +\ \bruch{1}{ln(1- x)}\right)[/mm] /* x->0
> Die Null wird irgendwie nicht dargestellt. */
Hallo Fabian,
die Null wurde nur deshalb nicht dargestellt, weil
du unmittelbar davor einen Backslash gesetzt hast !
Wenn man den weglässt, sieht es so aus:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0} \left(\bruch{1}{sin(x)}\ +\ \bruch{1}{ln(1- x)}\right)[/mm]
(Ich habe die Klammern hinzugefügt, damit klar wird,
dass der Limes des gesamten Terms gefragt ist !)
LG , Al-Chw.
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