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Forum "VK 29: Oberstufenmathematik" - Lage Gerade-Gerade III
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Lage Gerade-Gerade III: anal. Geom. der Geraden
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:20 Di 30.12.2008
Autor: argl

Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Geradengleichung der Geraden g durch die Punkte A und B bzw. die Geradengleichung der Geraden h durch die Punkte C und D und untersuchen Sie die Lage der Geraden zueinander !

a) $A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm]  B [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm]  C [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 5} [/mm]  D [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 3}$ [/mm]

b) $A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm]  B [mm] \vektor{3\\ 1 \\ 3} [/mm]  C [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm]  D [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2}$ [/mm]

c) $A [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm]  B [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 4} [/mm]  C [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm]  D [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1}$ [/mm]



        
Bezug
Lage Gerade-Gerade III: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Sa 25.04.2009
Autor: Schachschorsch56

a)A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 6} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 5} [/mm] D [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 3} [/mm]
ich bestimme die Geraden g und h nach folgenden Formeln:

[mm] g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}) [/mm]

[mm] h:\vec{x}=\overrightarrow{OC}+t(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}) [/mm] : dies ergibt:

[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ -4 \\ 4} [/mm] und

[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 3 \\ 5}+t\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm]

a)1. g und h parallel ?

Ja !, denn es gilt [mm] s\vektor{2 \\ -4 \\ 4}=\vektor{-1 \\ 2 \\ -2} [/mm] für [mm] r=-\bruch{1}{2} [/mm]

a)2. g und h identisch ?

Nein !, da es kein s gibt, das alle lineare Gleichungen von [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ -4 \\ 4} [/mm] erfüllt ! (gilt auch für t in h mit dem Ortsvektor von g)

b)A [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3\\ 1 \\ 3} [/mm] C [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] D [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ -2} [/mm]

wie in a) ermittle ich zuerst die Geradengleichungen:

[mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{3 \\ 0 \\ 1} [/mm] und

[mm] h:\vec{x}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3} [/mm]

b)1. g und h parallel ?

Nein !, es gibt kein s, das die Gleichung [mm] s\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{-3 \\ 1 \\ -3} [/mm] erfüllt.

b)3. gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g und h ?

ich setze [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3} [/mm] und schreibe es als LGS:

I 0 + 3s = 3 - 3t [mm] \Rightarrow [/mm] s=1-t setze s in II ein:
II 1 + 0(1-t) = 2 + t [mm] \Rightarrow [/mm] t=-1 setze t in III ein:
III 2 + s = 1 + 3 [mm] \Rightarrow [/mm] s=2

setze s und t in die Geradengleichungen ein, um den Schnittpunkt S mit dem Ortsvektor  [mm] \overrightarrow{OS} [/mm] zu berechnen:

[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+2\vektor{3 \\ 0 \\ 1}=\vektor{6 \\ 1 \\ 4} [/mm] und die andere Gleichung:

[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1}+t\vektor{-3 \\ 1 \\ -3}=\vektor{6 \\ 1 \\ 4} [/mm] stimmt also, damit gibt es den Schnittpunkt S (6|1|4)

c)A [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] B [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 4} [/mm] C [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 2} [/mm] D [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 1} [/mm]

damit heißen die Geraden:

[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] und

[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2}+t\vektor{4 \\ -2 \\ -1} [/mm]

c)1) g und h parallel ?

Nein !, da die Richtungsvektoren der Geraden nicht linear abhängig sind !

für [mm] s\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=\vektor{4 \\ -2 \\ -1} [/mm] gibt es kein s, das das LGS erfüllt !

c)3. Gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g und h ?

ich setze [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+s\vektor{2 \\ 2 \\ 2}=\vektor{0 \\ 2 \\ 2}+t\vektor{4 \\ -2 \\ -1} [/mm] und schreibe es als LGS:

I 1 + 2s = 4t [mm] \Rightarrow s=2t-\bruch{1}{2} [/mm]
II 1 + 2s = 2 -2t [mm] \Rightarrow s=\bruch{1}{2}-2t [/mm]
III 2 + 2s = 2 -t [mm] \Rightarrow s=-\bruch{t}{2} [/mm]

es gibt keine s und t, die das LGS erfüllen, also gibt es keinen Schnittpunkt, g und h sind damit windschief !

Schorsch

Bezug
                
Bezug
Lage Gerade-Gerade III: Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


[ok] Diese Aufgabe ist korrekt gelöst.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Lage Gerade-Gerade III: Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


Auch hier alles korrekt ... [ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Lage Gerade-Gerade III: Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 So 26.04.2009
Autor: Loddar

Hallo Schorsch!


[ok] Stimmt alles.


Gruß
Loddar


Bezug
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