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Forum "Diskrete Optimierung" - Lagrange 2 nebenbed
Lagrange 2 nebenbed < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lagrange 2 nebenbed: mögl extremstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 Di 25.06.2013
Autor: genetikk

Aufgabe
Gegeben ist:
f(x,y,z)=(y-1)²+(z-1)² unter den Nebenbedingungen:
x+z=2 und (1-x)²+y=1  . Berechne mögliche raltive Extrema MIT DEM ANSATZ VON LAGRANGE.

Habe die Frage schonmal gestellt und wurde dabei hingewiesen, dass es auch durch Auflösen der Nebenbed. nach x geht und Einsetzen in F und dann Ableiten. Habe dabei übersehen, dass explizit die Lagrange Methode verlangt wird. Nun hänge ich schon wieder über 2h an der Aufgabe ohne Fortschritt.

Mein Ansatz:

L(x,y,z,λ,µ)=(y-1)²+(z-1)²+λ(x+z-2)+µ((1-x)²+y-1)

differentiert nach x,y,z,λ,µ:

I    λ-2µ(1-x)=0
II   2(y-1)+µ=0
III  2(z-1)+λ=0
IV   x+z-2=0
V    (1-x)²+y-1=0

Habe erst I nach λ umgestellt und in III eingesetzt, das hat mich aber nicht weitergebracht.

Dann habe ich versucht aus IV die Beziehung x=2+z herzustellen und das irgendwo zu benutzen, wieder kein Ergebnis.

ich zweifel langsam echt an mir selbst..

Vielen lieben Dank an alle die sich die Mühe geben mir zu helfen ..

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Di 25.06.2013
Autor: angela.h.b.


> Gegeben ist:
> f(x,y,z)=(y-1)²+(z-1)² unter den Nebenbedingungen:
> x+z=2 und (1-x)²+y=1 . Berechne mögliche raltive
> Extrema MIT DEM ANSATZ VON LAGRANGE.

>

> Mein Ansatz:

>

> L(x,y,z,λ,µ)=(y-1)²+(z-1)²+λ(x+z-2)+µ((1-x)²+y-1)

>

> differentiert nach x,y,z,λ,µ:

>

> I λ-2µ(1-x)=0
> II 2(y-1)+µ=0
> III 2(z-1)+λ=0
> IV x+z-2=0
> V (1-x)²+y-1=0

>

> Habe erst I nach λ umgestellt und in III eingesetzt, das
> hat mich aber nicht weitergebracht.

Hallo,

an dieser Stelle würde ich wirklich gern sehen, was dasteht.

Du hast jetzt noch die 4 Gleichungen II-V, welche nur 4 Variablen enthalten.

Jetzt könntest Du das [mm] \mu [/mm] in II freistellen und dann in III einsetzen.
Bleiben 3 Gleichungen mit den Variablen x,y,z.

Dann weiter.

Bei Rückfragen: nachvollziehbare Rechnungen mitposten!

LG Angela


>

> Dann habe ich versucht aus IV die Beziehung x=2+z
> herzustellen und das irgendwo zu benutzen, wieder kein
> Ergebnis.

>

> ich zweifel langsam echt an mir selbst..

>

> Vielen lieben Dank an alle die sich die Mühe geben mir zu
> helfen ..

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
        
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:06 Di 25.06.2013
Autor: genetikk

so siehts jetzt aus, sorry dass ichs als bild schick:/

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Mi 26.06.2013
Autor: genetikk

Aufgabe
[mm] $F(x_1,x_2,x_3,\lambda_1,\lambda_2)$ [/mm] : [mm] $(x_2-1)² [/mm] + [mm] (x_3-1)²$ [/mm]
[mm] NB:$x_1+x_3=2$ $(1-x_1)²+x_2=1$ [/mm]




so hab mich jetzt mal mit dem Formelgenerator auseinandergesetzt und das ganze versucht zu lösen.


$ [mm] Z(x_1,x_2,x_3,λ,µ) [/mm] $ = [mm] $(x_2-1)^2+(x_3-1)^2+ \lambda_1(x_1+x_3-2)+ \lambda_2((1-x_1)^2+x_2-1)$ [/mm]


differenziert:

I     [mm] $\lambda_1-2\lambda_2(1-x_1) [/mm] =0$
II    [mm] $2(x_2-1)+\lambda_2=0$ [/mm]
III   [mm] $2(x_3-1)+\lambda_1=0$ [/mm]
IV    [mm] $x_1+x_3-2=0$ [/mm]
V     [mm] $(1-x_1)^2+(x_2-1)=0$ [/mm]


aus II erhält man:

[mm] $\lambda_2= -2x_2+2$ [/mm]

aus III erhält man:

[mm] $\lambda_1=-2x_3+2$ [/mm]

II und III eingesetzt in I liefern:

[mm] $-2(x_3-1)-(-2(x_2-1))*2(1-x_1)=0$ [/mm]
---> alles ausgerechnet erhält man:

[mm] $4x_1-4x_1x_2+4x_2-2x_3-2=0$ [/mm] (A)

IV liefert: [mm] $x_3=2-x_1$ [/mm]
V liefert: [mm] $x_2=1-(1-x_1)²$ [/mm]  =  [mm] $2x_1-x_1²$ [/mm]


eingesetzt in (A) und ausgerechnet:

[mm] $4x_1³-8x_1²+10x_1-6=0$ [/mm]  

ab hier hab ich jetzt wieder keine Ahnung mehr was zu tun ist. Hab mehrmals nachgeprüft ob ich die Zwischenschritte richtig gerechnet habe, sollte also eigentich stimmen..
Aber mit ausklammern oder Mitternachtsformel geht hier ja nichts...

Gruß !

Bezug
                        
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 Mi 26.06.2013
Autor: angela.h.b.


> eingesetzt in (A) und ausgerechnet:

>

> [mm]4x_1^3-8x_1^2+10x_1-6=0[/mm]

>

> ab hier hab ich jetzt wieder keine Ahnung mehr was zu tun
> ist.

Hallo,

ich hab' Deinen Weg nicht nachgerechnet!

Bei obiger Gleichung habe ich mal einen Versuchsballon gestartet mit Erfolg: [mm] x_1=1 [/mm] löst die Gleichung.

Nun kannst Du eine Polynomdivision durch (x-1) machen und gucken, ob das quadratische Polynom, welches Du bekommst, weitere Nullstellen hat.

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Mi 26.06.2013
Autor: genetikk

okay danke, hört sich plausibel an.
Aber bin mir nicht so ganz sicher ob ich das dann richtig gemacht habe. Hier handelt es sich um ne Mathe klausur für wirtschaftswissenschaftler, und die Aufgaben der Klausuren der vorjahre und auch der danach waren nicht Ansatzweise damit vergleichbar.. Kann mir nur schwer vorstellen, dass er wirklich voraussetzt dass wir auf polynomdivision kommen, da das nicht teil des stoffes war..

Bezug
                                        
Bezug
Lagrange 2 nebenbed: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Mi 26.06.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Also ich denke dass man Polynomdivision sicher als eine mathematische Grundlage voraussetzen kann ;)

Lg

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