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Landau-Symbol: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:14 Mi 22.10.2014
Autor: WinterMensch

Aufgabe
Zeigen Sie:
[mm] e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3}) [/mm] , x [mm] \rightarrow [/mm] 0

Ok, ich muss ja zeigen:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sup | [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}} [/mm] | < [mm] \infty [/mm]
Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm] e^{x} [/mm] schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja einiges weg heben. Dann komme ich auf
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] sup [mm] |\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}| [/mm]
Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.
Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?
Außerdem muss ich es noch über die Quantorenschreibweise zeigen.
Vielen Dank schonmal im Vorraus :)

        
Bezug
Landau-Symbol: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Mi 22.10.2014
Autor: fred97


> Zeigen Sie:
>  [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm] , x [mm]\rightarrow[/mm] 0
>  Ok, ich muss ja zeigen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup |
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm] | < [mm]\infty[/mm]
>  Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm]e^{x}[/mm]
> schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja
> einiges weg heben. Dann komme ich auf
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup [mm]|\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}|[/mm]

Du meinst sicher [mm] \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!} [/mm]

>  
> Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.

Doch, das bringt Dich weiter !

Es ist

$ [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....$ [/mm]

Setzen wir

[mm] $g(x):=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....$ [/mm]  für $x [mm] \in \IR$, [/mm]

so haben wir:

  $ [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= [/mm] g(x)$   für $x [mm] \ne [/mm] 0$


$g$ ist auf [mm] \IR [/mm] stetig, insbesondere in 0, also gibt es eine Umgebung $U$ von 0, auf der g beschränkt ist. Damit ist

  [mm] \bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}} [/mm]

auf $U [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] beschränkt.

Fazit:  


$ [mm] e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3}) [/mm] $   für  $x  [mm] \rightarrow [/mm] 0$.



  


>  Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?
>  Außerdem muss ich es noch über die Quantorenschreibweise
> zeigen.

Was ist damit gemeint ??

FRED

>  Vielen Dank schonmal im Vorraus :)


Bezug
                
Bezug
Landau-Symbol: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 Mi 22.10.2014
Autor: WinterMensch


> > Zeigen Sie:
>  >  [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm] , x [mm]\rightarrow[/mm] 0
>  >  Ok, ich muss ja zeigen:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup |
> > [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm] | < [mm]\infty[/mm]
>  >  Irgendwie will mir das nicht gelingen. Ich habe [mm]e^{x}[/mm]
> > schon durch die Reihe ausgedrückt, dann kann man ja
> > einiges weg heben. Dann komme ich auf
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] sup [mm]|\summe_{k=3}^{\inty} \bruch{x^{n-3}}{n!}|[/mm]
>  
> Du meinst sicher [mm]\summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}[/mm]
>  
> >  

> > Aber das bringt mich hier auch nicht weiter denke ich.
>  
> Doch, das bringt Dich weiter !
>  
> Es ist
>  
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= \summe_{n=3}^{\infty} \bruch{x^{n-3}}{n!}=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....[/mm]
>  
> Setzen wir
>
> [mm]g(x):=\bruch{1}{3!}+\bruch{x}{4!}+\bruch{x^2}{5!}+....[/mm]  
> für [mm]x \in \IR[/mm],
>
> so haben wir:
>  
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}= g(x)[/mm]   für [mm]x \ne 0[/mm]
>  
>
> [mm]g[/mm] ist auf [mm]\IR[/mm] stetig, insbesondere in 0, also gibt es eine
> Umgebung [mm]U[/mm] von 0, auf der g beschränkt ist. Damit ist
>  
> [mm]\bruch{e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}}{x^{3}}[/mm]
>  
> auf [mm]U \setminus \{0\}[/mm] beschränkt.
>  
> Fazit:  
>
>
> [mm]e^{x}=1+x+\bruch{x^{2}}{2}+O(x^{3})[/mm]   für  [mm]x \rightarrow 0[/mm].
>  
>
>
>
>

Ok, ich dachte  man hätte das irgendwie direkter zeigen können :)

>
> >  Hat vielleicht jemand einen nützlichen Tipp?

>  >  Außerdem muss ich es noch über die
> Quantorenschreibweise
> > zeigen.
>  
> Was ist damit gemeint ??

Ja, also gerade haben wir die lim sup Definition der Landau-Symbole  benutzt. Und jetzt muss ich es noch mit der anderen Definition zeigen, also:
Wenn man [mm] f(x):=e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2} [/mm] hat, dann muss man zeigen, dass Konstanten [mm] \varepsilon [/mm] , C > 0 existieren, sodass für alle x mit [mm] |x|<\varepsilon [/mm] stets |f(x)|  [mm] \le [/mm] C|g(x)| gilt.
g(x) wäre hier [mm] x^{3}. [/mm]
Ich würde so anfangen:
[mm] |f(x)|=|e^{x}-1-x-\bruch{x^{2}}{2}|=|x^{3} (\bruch{e^{x}-1}{x^3}-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{2x})|=|x^{3}| |\bruch{e^{x}-1}{x^3}-\bruch{1}{x^{2}}-\bruch{1}{2x}| \le (|\bruch{e^{x}-1}{x^3}|+|\bruch{1}{x^{2}}|+|\bruch{1}{2x}|) |x^{3}| [/mm]
Das vor [mm] x^{3} [/mm] müsste ja C sein und [mm] |\bruch{1}{2x}| [/mm] < [mm] \bruch{1}{2\varepsilon}, [/mm] aber was mache ich mit dem ersten Term(der mit [mm] e^x)? [/mm]
Und geht das so überhaupt?

>  
> FRED
>  >  Vielen Dank schonmal im Vorraus :)
>  


Bezug
                        
Bezug
Landau-Symbol: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 24.10.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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