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Forum "Funktionalanalysis" - Laplace Operator
Laplace Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Laplace Operator: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:22 Fr 29.05.2015
Autor: xarmar

Aufgabe
Sei T [mm] \subset R^{2} [/mm]  das off ene Dreieck mit den Ecken (0; 0), (0; 1) und (1; 0), sei Q = (0; [mm] 1)^{2} [/mm] das
Einheitsquadrat und sei S : [mm] L^2(Q) [/mm] -> [mm] L^2(Q) [/mm] gegeben durch Su(x; y) = u(1-y; 1-x).
Wir bezeichnen eine Funktion f [mm] \in L^2(Q) [/mm] als gerade, wenn u = Su und als ungerade, wenn
u =-Su. Sei [mm] (u_{n}) n\in \IN [/mm] ein vollstandiges Orthonormalsystem von Eigenvektoren des Laplace-
Operators mit Dirichlet-Randbedingungen auf Q, wobei [mm] u_{n} [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_{n} [/mm]
ist. Schlielich sei [mm] E(\lambda) [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm]
1. Sei [mm] n\in \IN. [/mm] Zeigen Sie [mm] Su_{n} \in E(\lambda_{n}). [/mm]
2.Geben Sie ein vollstandiges Orthogonalsystem aus Eigenvektoren des Laplace-
Operators mit Dirichlet-Randbedingungen auf T an.

1. Für den Laplace Operator gilt: [mm] u_{n,m}=sin(n\pix)sin(m\piy) [/mm]
[mm] Su_{n,m}=u_{n,m}(1-x,1-y)=sin(n\pi(1-y))sin(m\pi(1-x))=sin(n\pi-n\piy)sin(m\pi-m\pix) [/mm] Dann für n,m beide gerade oder ungerade ist es gleich [mm] u_{n,m} [/mm] sonst [mm] -u_{n,m} [/mm] aber beide [mm] \in E(\lamda_{n}) [/mm]
Ist es ok?

2. Hier habe ich gedacht, dass [mm] v(x,y)=\begin{cases} u(x,y), & \mbox{für } x \mbox{ positiv} \\ -u(-x,y), & \mbox{für } x \mbox{ negativ} \end{cases} [/mm] kann eine solche Orthogonalsystem für T sein, da [mm] u_{n} [/mm] ist ein Orthonormalsystem für Q. Gilt das? Wieso ist es vollständig?
Auf einen Antwort würde ich mich sehr freuen...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Laplace Operator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Di 02.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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