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Legendresches Polynom: Anzahl Nullstellen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mo 28.12.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Das Legendresche Polynom n-ter Ordnung [mm]P_{n}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}[/mm] ist definiert durch

[mm]P_{n}(x) := \bruch{1}{2^{n}*n!}*\bruch{d^{n}}{dx^{n}}[(x^{2}-1)^{n}][/mm].

Man beweise:

[mm]P_{n}[/mm] hat genau [mm]n[/mm] verschiedene Nullstellen im Intervall (-1, 1).

Hallo Matheraum,

Ich habe zu rechnen angefangen (Siehe Bild), binomischen Lehrsatz angewendet und so weiter. Dabei habe ich angenommen, dass n gerade ist, um dann später den anderen Fall ggf. gesondert zu betrachten. Stimmt die Rechnung so weit? Nur komme ich nun leider nicht weiter. Vlt. muss ich auch gar nicht so weit rechnen, sondern kann irgendeinen schlauen Satz anwenden.

Vielen Dank für jede Hilfe.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Legendresches Polynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Di 29.12.2015
Autor: fred97

Schau mal hier:

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~theiders/PS-Analysis/Ausarbeitung%20Legendrepolynome.pdf

fred

Bezug
                
Bezug
Legendresches Polynom: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:31 Di 29.12.2015
Autor: sandroid

Aufgabe
Behauptung: [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}_{0}: P_{n}(1) [/mm] = 1$

Beweis: [mm] $P_{n}(x)=...=\bruch{1}{2^{n}n!}*\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}\bruch{d^{k}}{dx^{k}}(x-1)^{k}*\bruch{d^{n-k}}{dx^{n-k}}(x+1)^{n-k}$ [/mm]

Für $x=1$ werden alle Summanden bis auf $k=0$ Null. Man erhält [mm] $P_{n}(1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}n!}*n!*2^{n} [/mm] = 1$

Danke Fred für deine Antwort und den Link zu dieser Seminararbeit. Ich habe eine vermutlich einfache Frage. Wie kommt sie (die Autorin) auf die [mm] $2^{n}$? [/mm] Dass alle Summanden Null werden bis auf den $k=0$-ten ist mir klar. Wenn ich das aber ausrechne, erhalte ich für diesen Summanden nur $n!$. Wo liegt mein Verständnisfehler?

Bezug
                        
Bezug
Legendresches Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:28 Mi 30.12.2015
Autor: hippias

Deine Formel ist falsch. Gib sie doch bitte richtig ein und erklaere, weshalb welcher Summand wirklich $=0$ ist. Dann wirst vermutlich selber drauf kommen, woher der Faktor [mm] $2^{n}$ [/mm] kommt.

Bezug
                                
Bezug
Legendresches Polynom: Der Fehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mi 30.12.2015
Autor: sandroid

Hallo,

danke dir, du hast mich in dem Gedanken bestärkt, dass da etwas nicht stimmen kann. Ohne der Autorin nun eine Schuld zuschieben zu wollen, hat sich in ihrer Arbeit wohl ein kleiner Fehler eingeschlichen (Siehe S. 5). So einfach ist das nicht. Wendet man dann aber die Leibnizsche Formel richtig an, so komme ich nun auch auf das erwartete Ergebnis.

Vielen Dank!


PS: Gerne würde ich nun meine Frage als beantwortet markieren, sodass hier hilfsbereite Menschen nicht umsonst lesen, aber ich finde den Button nicht. Ist das vorgesehen?

Bezug
                                        
Bezug
Legendresches Polynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mi 30.12.2015
Autor: hippias

Ich habe den Status geändert.

Bezug
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