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Lineare Abbildung: Dimensionen für inkt. surjekt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:01 Mo 18.12.2017
Autor: asg

Aufgabe
Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ [/mm] eine lineare Abbildung.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1. $f$ ist surjektiv, dann $m [mm] \le [/mm] n$
2. $f$ ist injektiv, dann $m [mm] \ge [/mm] n$
3. $f$ ist ein Isomorphismus, dann $m = n$
4. $m = n$, daraus folgt nicht $f$ ist ein Isomorphismus

Hallo zusammen,

meine Lösungen dazu sind wie folgt:

$dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n$ *

1. $f$ ist surjektiv [mm] $\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ und $dim(Kern(f)) [mm] \ge [/mm] 0$.

Dann gilt nach *:

$dim(Kern(f)) + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \le [/mm] n$

2. $f$ ist injektiv [mm] $\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow [/mm] dim(Kern(f))=0$

Dann gilt nach *:
$0 + dim(Bild(f)) = n [mm] \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = n$
Aber das zeigt ja nicht $m [mm] \ge [/mm] n$! Was mache ich denn falsch?

3. $f$ ist ein Isomorphismus, d.h. $f$ ist bijektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] dim(Kern(f)) = 0$ wegen Injektivität und $Bild(f) = [mm] \mathbb{R}^m \Rightarrow [/mm] dim(Bild(f)) = m$ wegen Surjektivität.
Dann gilt nach *:
$0 + m = n [mm] \Rightarrow [/mm] m = n$

4. Sei $M(f) [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] die Nullmatrix.
Dann gilt, $f$ ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge abgebildet.
Daraus folgt, $f$ ist nicht bijektiv und somit kein Isomorphismus.

Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in 2.?

Dankeschön vorab für jede Hilfe.

Liebe Grüße
Asg

        
Bezug
Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:18 Mo 18.12.2017
Autor: fred97


> Sei [mm]f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/mm] eine lineare
> Abbildung.
>  
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
>  
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv, dann [mm]m \le n[/mm]
>  2. [mm]f[/mm] ist injektiv, dann [mm]m \ge n[/mm]
>  
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, dann [mm]m = n[/mm]
>  4. [mm]m = n[/mm], daraus
> folgt nicht [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus
>  Hallo zusammen,
>  
> meine Lösungen dazu sind wie folgt:
>  
> [mm]dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = n[/mm] *
>  
> 1. [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\Rightarrow Bild(f)=\mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> und [mm]dim(Kern(f)) \ge 0[/mm].
>  
> Dann gilt nach *:
>  
> [mm]dim(Kern(f)) + m = n \Rightarrow m \le n[/mm]

Richtig


>  
> 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
>  
> Dann gilt nach *:
>  [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
>  Aber
> das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!


Doch !

>  Was mache ich denn falsch?

Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:

Es ist Bilf(f) [mm] \subseteq \IR^m, [/mm] also

m [mm] \ge [/mm] dim Bild(f)=n.


>  
> 3. [mm]f[/mm] ist ein Isomorphismus, d.h. [mm]f[/mm] ist bijektiv [mm]\Rightarrow dim(Kern(f)) = 0[/mm]
> wegen Injektivität und [mm]Bild(f) = \mathbb{R}^m \Rightarrow dim(Bild(f)) = m[/mm]
> wegen Surjektivität.
>  Dann gilt nach *:
>  [mm]0 + m = n \Rightarrow m = n[/mm]

Richtig


>  
> 4. Sei [mm]M(f) \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm] die Nullmatrix.
>  Dann gilt, [mm]f[/mm] ist nicht injektiv, denn alle Vektoren aus
> dem Urbild werden auf den Nullvektor in die Bildmenge
> abgebildet.
>  Daraus folgt, [mm]f[/mm] ist nicht bijektiv und somit kein
> Isomorphismus.

Gutes Beispiel !


>  
> Sind meine Beweise korrekt bzw. was mache ich falsch in
> 2.?

Siehe oben .


>  
> Dankeschön vorab für jede Hilfe.
>  
> Liebe Grüße
>  Asg


Bezug
                
Bezug
Lineare Abbildung: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:16 Di 19.12.2017
Autor: asg

Hallo,

Dankeschön für die schnelle Hilfe.

> > 2. [mm]f[/mm] ist injektiv [mm]\Rightarrow Kern(f)=\{0\} \Rightarrow dim(Kern(f))=0[/mm]
> >  

> > Dann gilt nach *:
>  >  [mm]0 + dim(Bild(f)) = n \Rightarrow dim(Bild(f)) = n[/mm]
>  >  
> Aber das zeigt ja nicht [mm]m \ge n[/mm]!
>
> Doch !
>
> >  Was mache ich denn falsch?

>  
> Nichts. Du hörst nur kurz vor dem Ziel auf:
>  
> Es ist Bilf(f) [mm]\subseteq \IR^m,[/mm] also
>
> m [mm]\ge[/mm] dim Bild(f)=n.

Daran hatte ich gar nicht gedacht. Danke :)

Viele Grüße
Asg

Bezug
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